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05. Schätz- und Testverfahren

Statistik Klausurvorbereitung · DHBW Mannheim · Theo4
✍ Klausur = Rechnen mit Formelsammlung & Taschenrechner (kein Programmieren)

Auf einen Blick

Schätz- und Testverfahren gehören zur induktiven Statistik: aus einer Stichprobe wird auf unbekannte Parameter der Grundgesamtheit (meist Mittelwert mu oder Anteilswert pi) geschlossen. Man unterscheidet Punktschätzung (ein Wert), Intervallschätzung (Konfidenzintervall mit Ober- und Untergrenze) und Hypothesentests (Prüfung einer Nullhypothese). Klausurrelevant sind: Aufbau des Konfidenzintervalls, z-Test bei bekannter Standardabweichung, t-Test bei unbekannter Standardabweichung, ein-/zweiseitige Tests, Fehler 1. Art (alpha, Nullhypothese fälschlich abgelehnt), Fehler 2. Art (beta, Nullhypothese fälschlich beibehalten), p-Wert und Entscheidungsregel über kritischen Wert. In der Klausur wird gerechnet: Prüfgröße z aus Stichprobe berechnen, mit kritischem Wert aus NV-Tabelle vergleichen, Entscheidung formulieren, Ergebnis in Klartext interpretieren.

Schlüsselbegriffe

Punktschätzung

Verfahren, das aus einer Stichprobe genau EINEN Schätzwert für einen unbekannten Parameter der Grundgesamtheit (mu, sigma, pi) liefert. Beispiel: Stichprobenmittel x-quer als Schätzer für mu.

Warum wichtig: Ausgangspunkt jeder Intervallschätzung und jedes Tests. Wichtige Gütekriterien: Erwartungstreue, Effizienz, Konsistenz.

Intervallschätzung / Konfidenzintervall

Intervall [Untergrenze; Obergrenze], das mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit 1-alpha (Konfidenzniveau) den wahren Parameter überdeckt. Übliche Niveaus: 90 %, 95 %, 99 %.

Warum wichtig: Berücksichtigt die Unsicherheit der Schätzung. Je größer n oder je kleiner sigma, desto enger das Intervall. Höheres Konfidenzniveau -> breiteres Intervall (ungenauer).

Nullhypothese H0 und Alternativhypothese H1

H0 ist die zu prüfende Aussage (z. B. mu = 500 ml). H1 ist die Gegenaussage (mu ungleich 500 oder mu < 500 oder mu > 500). Ein Test entscheidet nur, ob H0 abgelehnt wird oder nicht — H0 wird nie bewiesen.

Warum wichtig: Die Formulierung von H0/H1 legt fest, ob ein zwei-, links- oder rechtsseitiger Test durchgeführt wird — und damit den kritischen Wert.

Fehler 1. Art (alpha) und Fehler 2. Art (beta)

alpha-Fehler: H0 wird abgelehnt, obwohl H0 richtig ist (Irrtumswahrscheinlichkeit, meist 1 %, 5 %, 10 %). beta-Fehler: H0 wird beibehalten, obwohl H0 falsch ist.

Warum wichtig: Die vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit bezieht sich stets auf alpha. Ein kleineres alpha reduziert Fehlalarme, erhöht aber beta.

p-Wert (Überschreitungswahrscheinlichkeit)

Wahrscheinlichkeit, unter Gültigkeit von H0 einen mindestens so extremen Prüfgrößenwert wie den beobachteten zu erhalten. Entscheidungsregel: p < alpha -> H0 ablehnen; p >= alpha -> H0 beibehalten.

Warum wichtig: Alternative zur Entscheidungsregel mit kritischem Wert. Erlaubt Entscheidung für BELIEBIGES alpha ohne neue Rechnung.

Ein- vs. zweiseitiger Test

Zweiseitig: H1: mu ungleich mu0, Ablehnung bei |z| > z_(1-alpha/2). Rechtsseitig: H1: mu > mu0, Ablehnung bei z > z_(1-alpha). Linksseitig: H1: mu < mu0, Ablehnung bei z < -z_(1-alpha).

Warum wichtig: Die Testrichtung ergibt sich aus der inhaltlichen Fragestellung: soll nur überschritten, nur unterschritten oder allgemein abgewichen werden?

Kritischer Wert / Entscheidungsregel

Der Grenzwert der Prüfgröße aus der NV-Tabelle. Wichtige z-Werte: 1,645 (alpha=5 % einseitig), 1,96 (alpha=5 % zweiseitig), 2,33 (alpha=1 % einseitig), 2,575 (alpha=1 % zweiseitig), 1,28 (alpha=10 % einseitig).

Warum wichtig: Vergleich |z_berechnet| mit dem kritischen Wert entscheidet über Ablehnung von H0.

Zentraler Grenzwertsatz (ZGS)

Für n > 30 ist die Verteilung des Stichprobenmittels x-quer näherungsweise normalverteilt — unabhängig von der Verteilung der Grundgesamtheit.

Warum wichtig: Rechtfertigt die Verwendung der z-Werte aus der Standardnormalverteilung auch dann, wenn das Merkmal selbst nicht normalverteilt ist (sofern n > 30).

Formeln zum Anwenden

Diese Formeln musst du in der Klausur einsetzen und damit rechnen können.

Konfidenzintervall für mu bei bekannter sigma (z-Intervall)

$$\mathbb{P}\!\left(\bar{x} - z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$$

Symbole x_quer = Stichprobenmittelwert; sigma = bekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit; n = Stichprobenumfang; z = z_(1-alpha/2) aus NV-Tabelle (zweiseitig); 1-alpha = Konfidenzniveau.

Anwenden wenn Punktschätzung wurde aus einer Stichprobe berechnet, sigma ist aus Vorwissen bekannt, Grundgesamtheit normalverteilt oder n > 30. Zentrale Klausurformel für Aufgabe 38/39.

Konfidenzintervall für mu bei unbekannter sigma (t-Intervall)

$$\mathbb{P}\!\left(\bar{x} - t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$$

Symbole s = empirische Standardabweichung aus der Stichprobe; t = t_(1-alpha/2; n-1) aus t-Tabelle mit Freiheitsgraden n-1.

Anwenden wenn Wenn sigma nicht bekannt ist und n klein ist (n <= 30). Bei n > 30 kann t durch z ersetzt werden.

Prüfgröße z beim Mittelwerttest (z-Test)

$$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$

Symbole mu_0 = hypothetischer Wert aus H0; alle übrigen Symbole wie oben. Bei unbekannter sigma stattdessen s einsetzen -> t-Prüfgröße.

Anwenden wenn Vergleich eines Stichprobenmittelwerts mit einem theoretischen Sollwert mu_0. Wird mit kritischem z-Wert verglichen -> Entscheidung. Kern von Aufgaben 40 und 41.

Prüfgröße z beim Anteilstest

$$z = \frac{p - \pi_0}{\sigma_p}, \quad \text{mit } \sigma_p = \sqrt{\frac{\pi_0 \cdot (1 - \pi_0)}{n}}$$

Symbole p = beobachteter Anteil in der Stichprobe; pi_0 = hypothetischer Anteil aus H0; sigma_p = Standardfehler des Anteilswerts unter H0.

Anwenden wenn Wenn Anteile geprüft werden (Wahlprognose, Ausschussquote). Kern von Aufgabe 42.

Kritische z-Werte (Merktabelle)

$$\text{einseitig: } \alpha = 10\,\% : 1{,}28 \mid \alpha = 5\,\% : 1{,}645 \mid \alpha = 1\,\% : 2{,}33 \quad\text{zweiseitig: } \alpha = 10\,\% : 1{,}645 \mid \alpha = 5\,\% : 1{,}96 \mid \alpha = 1\,\% : 2{,}575$$

Symbole z-Werte aus der Standardnormalverteilung. Rechtsseitig: +z. Linksseitig: -z. Zweiseitig: +-z_(1-alpha/2).

Anwenden wenn Für jede Test- und Intervallaufgabe. Diese Werte MUSS man auswendig / aus Tabelle sofort ablesen können.

p-Wert (Überschreitungswahrscheinlichkeit)

$$\text{rechtsseitig: } p = 1 - \Phi(z_{\text{ber}}) \quad \text{linksseitig: } p = \Phi(z_{\text{ber}}) \quad \text{zweiseitig: } p = 2 \cdot \left(1 - \Phi(|z_{\text{ber}}|)\right)$$

Symbole Phi(...) = Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (NV-Tabelle).

Anwenden wenn Wenn statt kritischem Wert der p-Wert gefragt ist. Entscheidung: p < alpha -> H0 ablehnen.

Typische Fallen & Verwechslungen

  • H0 wird nie 'bewiesen', sondern nur 'nicht abgelehnt'. Formulierung wie 'H0 ist richtig' ist FALSCH.
  • Bei einseitigem Test den falschen z-Wert nehmen: alpha=5 % einseitig ist 1,645, NICHT 1,96. Bei zweiseitigem Test wird alpha auf zwei Seiten aufgeteilt -> z_(1-alpha/2).
  • Vorzeichen bei linksseitigem Test vergessen: Ablehnung, wenn z_berechnet < -z_(1-alpha), also NEGATIVER kritischer Wert.
  • Stichprobenumfang n vs. Freiheitsgrade n-1 verwechseln (nur bei t-Test wichtig).
  • Bei Anteilstests statt sigma_p (Standardfehler des Anteils) fälschlich sigma/wurzel(n) einsetzen.
  • Bei Konfidenzintervall den Ausdruck sigma/wurzel(n) NICHT durch sigma ersetzen — der Standardfehler des Mittelwerts ist entscheidend.
  • p-Wert und alpha verwechseln: alpha wird VORGEGEBEN, p wird BERECHNET. Ablehnung wenn p < alpha.
  • Fehler 1. Art (alpha) und Fehler 2. Art (beta) sind KEINE Wahrscheinlichkeiten für dasselbe Ereignis — sie beziehen sich auf unterschiedliche Zustände der Realität (H0 wahr vs. H0 falsch).
  • Bei Erhöhung des Konfidenzniveaus wird das Intervall BREITER (ungenauer), nicht enger.

Rechenaufgaben mit Lösungsweg

Klick auf eine Aufgabe für den kompletten Rechenweg Schritt für Schritt.

Rechenaufgabe 1: Berechnen Sie das Konfidenzintervall für die durchschnittliche Fahrleistung aller Versicherten zum Konfidenzniveau 98 %.

Szenario: Kfz-Haftpflichtversicherung (Aufgabe 38a): Eine repräsentative Befragung von 625 Versicherten ergibt eine durchschnittliche Fahrleistung von 20.000 km pro Jahr. Aus früheren Erhebungen ist bekannt: Kilometerzahl normalverteilt, Varianz sigma^2 = 9.000.000 km^2.

Gegeben:
n = 625; x_quer = 20.000 km; sigma^2 = 9.000.000 km^2 -> sigma = 3.000 km; 1 - alpha = 0,98 -> alpha = 0,02; zweiseitig -> z_(0,99) = 2,33.

Lösungsweg

Schritt 1

$$\mathbb{P}\!\left(\bar{x} - z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$$

Konfidenzintervall bei bekannter sigma und normalverteilter Grundgesamtheit.

Schritt 2

$$\sigma = \sqrt{9\,000\,000} = 3\,000 \ \text{km}$$

Aus der Varianz per Quadratwurzel.

Schritt 3

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3\,000}{\sqrt{625}} = \frac{3\,000}{25} = 120$$

Streuung des Stichprobenmittels.

Schritt 4

$$z_{0{,}99} = 2{,}33 \quad \text{(NV-Tabelle, zweiseitig, } 98\,\%\text{)}$$

1 - alpha/2 = 1 - 0,01 = 0,99 -> zugehöriger z-Wert 2,33.

Schritt 5

$$2{,}33 \cdot 120 = 279{,}6$$

z mal Standardfehler ergibt die Toleranz.

Schritt 6

$$20\,000 - 279{,}6 = 19\,720{,}4 \ ; \quad 20\,000 + 279{,}6 = 20\,279{,}6$$

Punktschätzer plusminus Toleranz.

Ergebnis: P( 19.720,4 <= mu <= 20.279,6 ) = 0,98

Interpretation: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % liegt die durchschnittliche Fahrleistung aller Versicherten zwischen 19.720,4 km und 20.279,6 km. Das Intervall ist etwa 559 km breit.

Rechenaufgabe 2: Für welches Konfidenzniveau gilt P(183,2 <= mu <= 186,4)?

Szenario: Papierschneidegerät (Aufgabe 39c): Stichprobe n=9, Mittelwert x_quer = 184,8 mm, bekannte sigma = 2,44 mm, normalverteilt.

Gegeben:
x_quer = 184,8; sigma = 2,44; n = 9 -> wurzel(n) = 3; Untergrenze 183,2; Obergrenze 186,4.

Lösungsweg

Schritt 1

$$186{,}4 - 184{,}8 = 1{,}6$$

Symmetrisches Intervall um x_quer.

Schritt 2

$$1{,}6 = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = z \cdot \frac{2{,}44}{3}$$

Halbbreite = z-Wert mal Standardfehler.

Schritt 3

$$z = \frac{1{,}6 \cdot 3}{2{,}44} = \frac{4{,}8}{2{,}44} = 1{,}97 \ \text{(gerundet)}$$

z-Wert, der zur beobachteten Intervallbreite gehört.

Schritt 4

$$\Phi(1{,}97) = 0{,}9756 \ ; \quad \Phi(-1{,}97) = 1 - 0{,}9756 = 0{,}0244$$

Werte der Standardnormalverteilung ablesen.

Schritt 5

$$1 - \alpha = \Phi(1{,}97) - \Phi(-1{,}97) = 0{,}9756 - 0{,}0244 = 0{,}9512$$

Fläche zwischen den beiden z-Werten.

Ergebnis: 1 - alpha = 0,9512, also Konfidenzniveau rund 95,12 %.

Interpretation: Das Intervall [183,2; 186,4] überdeckt mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 95,12 % den wahren Erwartungswert mu der Sollänge.

Rechenaufgabe 3: Testen Sie bei alpha = 0,05, ob die Garantie eingehalten wird. Bestimmen Sie zusätzlich den p-Wert.

Szenario: Mineralwasser Bayerquell (Aufgabe 40): Firma garantiert Natriumgehalt von höchstens 67 mg/l. Kontrollmessung an 20 Literflaschen ergibt Mittelwert 68 mg/l. Grundgesamtheit normalverteilt, sigma = 2 mg/l bekannt.

Gegeben:
n = 20; x_quer = 68; mu_0 = 67; sigma = 2; alpha = 0,05.

Lösungsweg

Schritt 1

$$H_0 : \mu \le 67 \ \text{gegen} \ H_1 : \mu > 67 \quad \text{(rechtsseitiger Test)}$$

Firma behauptet 'höchstens 67' — Abweichung nach oben ist der Vorwurf.

Schritt 2

$$\text{Lehne } H_0 \text{ ab, wenn } z_{\text{ber}} > z_{0{,}95} = 1{,}645$$

Rechtsseitiger kritischer Wert bei alpha = 5 %.

Schritt 3

$$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{68 - 67}{2 / \sqrt{20}}$$

z-Test bei bekannter sigma.

Schritt 4

$$\frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{4{,}472} = 0{,}4472$$

sigma durch wurzel(n).

Schritt 5

$$z = \frac{1}{0{,}4472} = 2{,}24$$

Wert der Prüfgröße.

Schritt 6

$$2{,}24 > 1{,}645 \ \Rightarrow \ H_0 \text{ wird abgelehnt}$$

Der beobachtete Wert liegt im Ablehnungsbereich.

Schritt 7

$$p = 1 - \Phi(2{,}24) = 1 - 0{,}9875 = 0{,}0125 = 1{,}25\,\%$$

Aus der NV-Tabelle. p < alpha bestätigt Ablehnung bei alpha = 5 %.

Ergebnis: z = 2,24 > 1,645. H0 wird abgelehnt. p-Wert = 1,25 %.

Interpretation: Der Stichprobenbefund ist bei alpha = 5 % signifikant. Die Garantie der Firma (Natriumgehalt höchstens 67 mg/l) kann NICHT gestützt werden. Bei alpha = 1 % (kritischer Wert 2,33) würde H0 dagegen nicht abgelehnt — die Entscheidung hängt vom Signifikanzniveau ab.

Rechenaufgabe 4: Testen Sie bei alpha = 0,01, ob dem Brauereibesitzer geglaubt werden kann.

Szenario: Brauerei-Abfüllanlage (Aufgabe 41b): Füllmenge X pro Flasche normalverteilt mit bekanntem sigma = 1,5 ml. Behauptung des Brauereibesitzers: durchschnittlich 500 ml. Stichprobe von 25 Flaschen: x_quer = 499,28 ml. Verbraucherorganisation als Auftraggeber (befürchtet Unterschreitung).

Gegeben:
n = 25; x_quer = 499,28; mu_0 = 500; sigma = 1,5; alpha = 0,01.

Lösungsweg

Schritt 1

$$H_0 : \mu \ge 500 \ \text{gegen} \ H_1 : \mu < 500 \quad \text{(linksseitiger Test)}$$

Verbraucherorganisation will Unterschreitung nachweisen.

Schritt 2

$$\text{Lehne } H_0 \text{ ab, wenn } z_{\text{ber}} < -z_{0{,}99} = -2{,}33$$

Linksseitiger kritischer Wert bei alpha = 1 %.

Schritt 3

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1{,}5}{\sqrt{25}} = \frac{1{,}5}{5} = 0{,}3$$

Streuung des Stichprobenmittels.

Schritt 4

$$z = \frac{499{,}28 - 500}{0{,}3} = \frac{-0{,}72}{0{,}3} = -2{,}4$$

z-Test-Formel eingesetzt.

Schritt 5

$$-2{,}4 < -2{,}33 \ \Rightarrow \ H_0 \text{ wird abgelehnt}$$

Prüfgröße liegt im linksseitigen Ablehnungsbereich.

Ergebnis: z = -2,4 < -2,33. H0 wird abgelehnt.

Interpretation: Der Brauereibesitzer kann bei alpha = 1 % nicht darauf vertrauen, dass durchschnittlich 500 ml eingefüllt werden. Die Verbraucherorganisation hat statistischen Beleg dafür, dass der Sollwert unterschritten wird. Bei zweiseitigem Test (Eichkommission, Teilaufgabe a) mit kritischem |z| > 2,575 wäre H0 dagegen nicht abgelehnt worden — das zeigt, wie stark die Testrichtung die Entscheidung beeinflusst.

Rechenaufgabe 5: Kann die Hypothese der Partei bei alpha = 10 % verworfen werden? Bestimmen Sie den p-Wert.

Szenario: Wahlprognose Partei XYZ (Aufgabe 42): Partei rechnet mit mindestens 5 % Stimmenanteil (5 %-Hürde). Repräsentative Befragung von 1.500 Wählern ergibt einen Stimmenanteil von 4,5 %.

Gegeben:
n = 1.500; p = 0,045; pi_0 = 0,05; alpha = 0,10.

Lösungsweg

Schritt 1

$$H_0 : \pi \ge 0{,}05 \ \text{gegen} \ H_1 : \pi < 0{,}05 \quad \text{(linksseitiger Test)}$$

Skeptiker wollen zeigen, dass die Partei die Hürde REISST.

Schritt 2

$$\text{Lehne } H_0 \text{ ab, wenn } z_{\text{ber}} < -z_{0{,}90} = -1{,}28$$

Linksseitiger kritischer Wert bei alpha = 10 %.

Schritt 3

$$\sigma_p = \sqrt{\frac{\pi_0 \cdot (1 - \pi_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}05 \cdot 0{,}95}{1\,500}} = \sqrt{0{,}0000317} = 0{,}0056$$

Standardfehler des Anteils unter H0 (nicht mit s_x verwechseln).

Schritt 4

$$z = \frac{p - \pi_0}{\sigma_p} = \frac{0{,}045 - 0{,}05}{0{,}0056} = \frac{-0{,}005}{0{,}0056} = -0{,}89$$

Anteilstest-Formel.

Schritt 5

$$-0{,}89 \not< -1{,}28 \ \Rightarrow \ H_0 \text{ wird NICHT abgelehnt}$$

Prüfgröße liegt außerhalb des Ablehnungsbereichs.

Schritt 6

$$p = \Phi(-0{,}89) = 1 - \Phi(0{,}89) = 1 - 0{,}8133 = 0{,}1867 = 18{,}67\,\%$$

Aus NV-Tabelle. p > alpha bestätigt Nicht-Ablehnung.

Ergebnis: z = -0,89, nicht kleiner als -1,28. H0 wird NICHT abgelehnt. p-Wert = 18,67 %.

Interpretation: Der Stichprobenbefund ist selbst bei einem sehr großzügigen alpha = 10 % nicht ausreichend, um die Behauptung der Partei zu verwerfen. Die beobachtete Abweichung (4,5 % statt 5 %) kann bei n=1.500 noch gut mit einem wahren Anteil von 5 % vereinbar sein. Die Partei kann statistisch nicht ausgeschlossen werden — der Einzug in den Bundestag ist möglich.

Rechenaufgabe 6: Führen Sie eine Intervallschätzung für mu bei Konfidenzniveau 0,9 und 0,99 durch.

Szenario: Konfidenzintervall Papierschneidegerät (Aufgabe 39b): Stichprobe n=9, Mittelwerte 184,2; 182,6; 185,3; 184,5; 186,2; 183,9; 185,0; 187,1; 184,4 (mm). Grundgesamtheit normalverteilt, sigma = 2,44 mm.

Gegeben:
n = 9; x_quer = 184,8 mm (Punktschätzung Teil a); sigma = 2,44 mm.

Lösungsweg

Schritt 1

$$\bar{x} = \frac{184{,}2 + 182{,}6 + 185{,}3 + 184{,}5 + 186{,}2 + 183{,}9 + 185{,}0 + 187{,}1 + 184{,}4}{9} = \frac{1663{,}2}{9} = 184{,}8 \ \text{mm}$$

Arithmetisches Mittel der 9 Messwerte.

Schritt 2

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2{,}44}{\sqrt{9}} = \frac{2{,}44}{3} = 0{,}8133$$

Streuung des Stichprobenmittels.

Schritt 3

$$z = 1{,}645 \ \Rightarrow \ 1{,}645 \cdot 0{,}8133 = 1{,}338$$

Zweiseitiger z-Wert für 90 %.

Schritt 4

$$[184{,}8 - 1{,}338 \ ; \ 184{,}8 + 1{,}338] = [183{,}5 \ ; \ 186{,}1]$$

Symmetrisch um x_quer gerundet.

Schritt 5

$$z = 2{,}575 \ \Rightarrow \ 2{,}575 \cdot 0{,}8133 = 2{,}094$$

Zweiseitiger z-Wert für 99 %.

Schritt 6

$$[184{,}8 - 2{,}094 \ ; \ 184{,}8 + 2{,}094] = [182{,}7 \ ; \ 186{,}9]$$

Deutlich breiter als das 90 %-Intervall.

Ergebnis: P(183,5 <= mu <= 186,1) = 0,9 und P(182,7 <= mu <= 186,9) = 0,99.

Interpretation: Die eingestellte Sollänge liegt mit 90 %-Sicherheit zwischen 183,5 und 186,1 mm. Beim strengeren Konfidenzniveau 99 % wird das Intervall breiter (von 2,6 auf 4,2 mm), die Aussage also unschärfer — Preis dafür, dass die Sicherheit steigt. Zeigt den klassischen Trade-off Sicherheit gegen Präzision.

Verständnis- & Interpretationsfragen

Frage 1 Warum liefern zwei Personen, die unabhängig voneinander erwartungstreue Schätzer für denselben Parameter verwenden, mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit NICHT genau denselben Schätzwert?

Antwort: Weil erwartungstreu nur bedeutet: E(Schätzer) = wahrer Parameter. Der Schätzer bleibt eine Zufallsvariable und schwankt von Stichprobe zu Stichprobe.

Erwartungstreue ist eine Aussage über den Erwartungswert des Schätzers ÜBER ALLE möglichen Stichproben, nicht über eine einzelne Realisierung. Konkrete Schätzwerte unterscheiden sich daher fast immer.

Frage 2 In Aufgabe 40 wird gezeigt, dass H0 (Natriumgehalt <= 67 mg/l) bei alpha=5 % abgelehnt wird, bei alpha=1 % jedoch nicht. Wie interpretiert man diesen scheinbaren Widerspruch?

Antwort: Es ist kein Widerspruch. Ein strengeres Niveau (alpha=1 %) erschwert die Ablehnung von H0 — der kritische Wert steigt von 1,645 auf 2,33. Die Prüfgröße z=2,24 liegt dazwischen.

Der p-Wert von 1,25 % liegt zwischen 1 % und 5 %. Bei alpha=5 % ist p<alpha -> Ablehnung; bei alpha=1 % ist p>alpha -> Beibehaltung. Die Entscheidung hängt IMMER vom vorgegebenen alpha ab.

Frage 3 Ein p-Wert von 4 % wurde berechnet. Was folgt daraus für Irrtumswahrscheinlichkeiten von 1 % und 5 %?
  • a) H0 wird bei 1 % abgelehnt, bei 5 % nicht
  • b) H0 wird bei 1 % nicht abgelehnt, bei 5 % abgelehnt
  • c) H0 wird in beiden Fällen abgelehnt
  • d) H0 wird in beiden Fällen beibehalten

Antwort: Bei alpha=1 %: p>alpha, H0 wird NICHT abgelehnt. Bei alpha=5 %: p<alpha, H0 WIRD abgelehnt.

Faustregel: Ablehnung genau dann, wenn p < alpha. Der p-Wert selbst ist keine Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art im konkreten Fall — er ist die Überschreitungswahrscheinlichkeit unter H0.

Frage 4 Warum wird in Aufgabe 41a) der Test ZWEISEITIG geführt (Eichkommission) und in 41b) einseitig (Verbraucherorganisation)?

Antwort: Die Eichkommission interessiert Abweichung nach OBEN und UNTEN (Betrug in beide Richtungen möglich). Die Verbraucherorganisation interessiert nur die Unterschreitung des Sollwerts.

Die Testrichtung folgt aus der inhaltlichen Fragestellung, nicht aus den Zahlen. Der zweiseitige Test verlangt |z| > 2,575, der linksseitige nur z < -2,33 (beide bei alpha=1 %) — die einseitige Version ist bei einseitiger Fragestellung 'strenger gegen' H0.

Frage 5 Ein Ökonometriker berichtet für zwei Regressionskoeffizienten p-Werte von 1,3 % und 6,4 %. Welche Variablen sind bei alpha=5 % signifikant?

Antwort: Nur die Variable mit p=1,3 % ist signifikant (p<alpha). Die Variable mit p=6,4 % ist NICHT signifikant (p>alpha).

Bei alpha=1 % wäre keine der beiden signifikant. Bei alpha=10 % wären beide signifikant. Signifikanz ist immer relativ zum vorgegebenen Niveau.

Frage 6 Warum darf man bei der Bestimmung eines Konfidenzintervalls für die durchschnittliche Vorbereitungszeit von Studierenden (unbekannte Verteilung) trotzdem z-Werte der Standardnormalverteilung verwenden?

Antwort: Weil der zentrale Grenzwertsatz greift, sobald n > 30 ist. Dann ist das Stichprobenmittel näherungsweise normalverteilt, unabhängig von der Verteilung der Grundgesamtheit.

Ohne n > 30 wäre die z-Verteilung nur bei tatsächlich normalverteiltem Merkmal zulässig. Der ZGS ist der Grund, warum z-Tests in der Praxis so oft anwendbar sind.

Frage 7 Was passiert mit dem Konfidenzintervall, wenn (a) n vergrößert wird, (b) sigma steigt, (c) das Konfidenzniveau von 95 % auf 99 % erhöht wird?

Antwort: (a) Intervall wird SCHMALER (genauer), (b) BREITER (ungenauer), (c) BREITER (ungenauer).

Sichtbar in Aufgabe 38: b1 sigma^2 doppelt so groß -> Intervall breiter; b2 n von 625 auf 900 -> Intervall enger; b3 Niveau 99 % statt 98 % -> Intervall breiter. Klausur-Standardfrage.