Auf einen Blick
Stichprobenverfahren beantworten die Frage, WIE aus einer Grundgesamtheit (Umfang N) eine Teilerhebung (Stichprobe, Umfang n) gezogen wird. Zwei Grundtypen: Zufallsauswahl (jedes Element hat eine berechenbare, positive Auswahlwahrscheinlichkeit -> statistische Inferenz moeglich) und keine Zufallsauswahl (willkuerlich oder bewusst). Zu den Zufallsverfahren zaehlen einfache Zufallsauswahl (alle Elemente gleich wahrscheinlich, n/N), Schichtenauswahl (Aufteilung in innen homogene, aussen heterogene Schichten; proportional oder disproportional; erfordert Gewichtung bei Hochrechnung), Klumpenauswahl (nur Klumpen zufaellig, dann Vollerhebung im Klumpen; negativer Klumpeneffekt) und mehrstufige Auswahl (Kette gestaffelter Zufallsstichproben, z. B. ADM-Design, Mikrozensus). Zu den bewussten Verfahren zaehlen Quotenverfahren (Merkmalsstruktur wird vorgegeben, Auswahl aber im Ermessen des Interviewers) und Konzentrationsprinzip (nur besonders gewichtige Faelle, z. B. DAX-30, Meldepflicht ab 20 Beschaeftigten). Fuer die Klausur wichtig: Auswahlwahrscheinlichkeit f = n/N berechnen, Teilstichproben in proportionaler Schichtung n_i = f * N_i bestimmen, gewichteten Mittelwert bei disproportionaler Schichtung x_ges = SUM (N_i/N) * x_i_quer bilden, Standardfehler SE = sigma/Wurzel(n) und Konfidenzintervalle aufstellen sowie notwendigen Stichprobenumfang n = (z*sigma/e)^2 planen. Der Standardfehler faellt nur mit Wurzel(n) -> Halbierung des Fehlers erfordert Vervierfachung von n. Zufallsauswahl ist mathematisch bevorzugt, in der Praxis scheitert sie oft an fehlenden Listen der Grundgesamtheit oder hoher Nichtbeantwortungsquote; daher spielen bewusste Verfahren (v. a. Quotenverfahren) in der Markt- und Meinungsforschung eine wichtige Rolle.
Schlüsselbegriffe
Grundgesamtheit vs. Stichprobe (Teilerhebung)
Grundgesamtheit = Menge aller Merkmalstraeger, ueber die eine Aussage getroffen werden soll (Umfang N). Stichprobe = ausgewaehlte Teilmenge (Umfang n). Vollerhebung = alle N werden erfasst; Teilerhebung = nur n < N.
Zufallsauswahl
Ein Auswahlverfahren, bei dem jedes Element der Grundgesamtheit eine vorab berechenbare, POSITIVE Wahrscheinlichkeit hat, in die Stichprobe zu gelangen. Nur bei Zufallsauswahl gilt das Instrumentarium der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Konfidenzintervalle, Tests).
Einfache Zufallsauswahl (Monte-Carlo)
Alle N Elemente haben die GLEICHE Auswahlwahrscheinlichkeit n/N. Umsetzung: Losurne, Zufallszahlentabelle oder Zufallszahlengenerator nach fortlaufender Nummerierung.
Schichtenauswahl (geschichtete Stichprobe)
Die Grundgesamtheit wird in s Schichten aufgeteilt, die INNEN homogen und AUSSEN (untereinander) heterogen sind. In JEDER Schicht wird eine einfache Zufallsstichprobe gezogen. Formen: proportional (n_i/N_i konstant) oder disproportional (unterschiedliche Auswahlsaetze).
Klumpenauswahl (Cluster Sampling)
Spezialfall der mehrstufigen Auswahl: Die Grundgesamtheit wird in Klumpen (Cluster) zerlegt, per Zufall werden einige Klumpen gezogen, und in diesen werden ALLE Elemente erhoben. Keine Liste aller Elemente noetig, nur Liste der Klumpen.
Mehrstufige Auswahl
Reihe nacheinander durchgefuehrter Zufallsstichproben, bei der eine gezogene Zufallsstichprobe S1 die Auswahlgrundlage fuer die naechste Zufallsstichprobe S2 ist (etwa: Hochschulen -> Studierende, oder Flaechen -> Haushalte -> Personen).
Repraesentativitaet und Stichprobenfehler
Repraesentativitaet = Die Stichprobe ist ein verkleinertes Abbild der Grundgesamtheit hinsichtlich der untersuchten Merkmale. Stichprobenfehler = zufaellige Abweichung des Stichprobenwertes vom wahren Wert; gemessen ueber den Standardfehler sigma/Wurzel(n).
Bewusste Auswahl (Quotenverfahren, Konzentrationsprinzip)
Elemente werden gezielt nach vorherigen Ueberlegungen ausgewaehlt (nicht per Zufall). Quotenverfahren: Interviewer erhaelt Quotenplan mit Merkmalskombinationen. Konzentrationsprinzip: Beschraenkung auf besonders bedeutsame Faelle (z. B. Grossunternehmen, DAX-30).
Formeln zum Anwenden
Diese Formeln musst du in der Klausur einsetzen und damit rechnen können.
Auswahlsatz / Auswahlwahrscheinlichkeit bei einfacher Zufallsauswahl
Symbole n = Stichprobenumfang; N = Umfang der Grundgesamtheit; f = Auswahlsatz (= Auswahlwahrscheinlichkeit fuer jedes Element)
Anwenden wenn Bei einfacher Zufallsauswahl, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der ein Element in die Stichprobe gelangt. Auch als Kontrollrechnung bei geschichteten Stichproben.
Teilstichprobe bei proportionaler Schichtung
Symbole N_i = Umfang der Schicht i in der Grundgesamtheit; n_i = Umfang der Teilstichprobe aus Schicht i; N = Gesamtumfang; n = Gesamtstichprobenumfang; f = Auswahlsatz
Anwenden wenn Wenn eine geschichtete Stichprobe proportional zu den Schichtanteilen in der Grundgesamtheit gezogen werden soll (jede Schicht wird gleich stark 'ausgeduennt').
Gewichteter Mittelwert bei geschichteter Stichprobe (Hochrechnung)
Symbole x_ges_quer = geschaetzter Mittelwert in der Grundgesamtheit; x_i_quer = Mittelwert in Schicht i (aus der Stichprobe); w_i = N_i / N = Schichtgewicht; N_i = Groesse der Schicht i in der Grundgesamtheit
Anwenden wenn Bei disproportional geschichteter Stichprobe zwingend, um zu einer unverzerrten Schaetzung des Gesamtmittelwerts zu kommen. Bei proportionaler Schichtung liefert die Formel dasselbe wie der einfache Mittelwert.
Standardfehler des Mittelwerts (Stichprobenfehler)
Symbole sigma = Standardabweichung des Merkmals in der Grundgesamtheit (falls unbekannt: Stichproben-Standardabweichung s); n = Stichprobenumfang; SE = Standardfehler des Stichprobenmittelwerts
Anwenden wenn Immer, wenn die Praezision eines Stichprobenmittelwerts beschrieben werden soll, insbesondere zur Berechnung von Konfidenzintervallen und zur Bewertung von Repraesentativitaet.
Konfidenzintervall fuer den Mittelwert (bei bekannter Varianz, Normalverteilung)
Symbole x_quer = Mittelwert der Stichprobe; sigma = Standardabweichung der Grundgesamtheit; n = Stichprobenumfang; z = z-Wert aus der Standardnormalverteilungstabelle (z = 1,645 fuer 90%; 1,96 fuer 95%; 2,33 fuer 98%; 2,575 fuer 99%); mu = wahrer Mittelwert der Grundgesamtheit
Anwenden wenn Zur Angabe eines Bereiches, in dem mit gegebener Wahrscheinlichkeit (1 - alpha) der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit liegt. Ausgangspunkt: Zufallsstichprobe aus normalverteilter (oder wegen ZGS grosser) Grundgesamtheit.
Notwendiger Stichprobenumfang bei vorgegebener Fehlermarge
Symbole e = maximal zulaessige Fehlermarge (halbe Konfidenzintervall-Breite); z = z-Wert zum gewuenschten Konfidenzniveau; sigma = geschaetzte Standardabweichung
Anwenden wenn Vor Beginn einer Erhebung, um zu planen, wie viele Befragungen/Messungen fuer eine geforderte Genauigkeit noetig sind. Zeigt das Wurzel-n-Gesetz: Halbierung von e -> Vervierfachung von n.
Typische Fallen & Verwechslungen
- Verwechslung von Grundgesamtheit (N) und Stichprobe (n): Grosse Buchstaben stehen fuer die Grundgesamtheit, kleine fuer die Stichprobe. In Formeln immer pruefen, welche Groesse gemeint ist.
- Bei disproportional geschichteter Stichprobe wird oft vergessen, die Schichtmittelwerte mit N_i/N zu gewichten. Der ungewichtete Durchschnitt liefert ein verzerrtes Ergebnis (Bias).
- Willkuerliche Auswahl (Auswahl aufs Geratewohl) wird faelschlicherweise als Zufallsauswahl bezeichnet. Sie ist KEINE Zufallsauswahl, weil die Auswahlwahrscheinlichkeit fuer jedes Element nicht berechenbar ist.
- Quotenverfahren wird oft mit Schichtenauswahl verwechselt. Unterschied: Bei Schichtenauswahl erfolgt die Auswahl innerhalb der Schicht per ZUFALL, bei Quotenauswahl im subjektiven Ermessen des Interviewers -> Quotenverfahren ist bewusste Auswahl.
- Klumpenauswahl wird mit Schichtenauswahl vertauscht. Merkregel: Bei Schichtung sind die Schichten INNEN homogen und AUSSEN heterogen, aus JEDER Schicht wird gezogen. Bei Klumpenauswahl sind Klumpen INNEN moeglichst heterogen; nur EINIGE Klumpen werden gezogen und dort ALLE Elemente befragt.
- Standardfehler wird mit Standardabweichung verwechselt. Standardabweichung sigma beschreibt die Streuung in der Grundgesamtheit; Standardfehler sigma/Wurzel(n) beschreibt die Streuung des STICHPROBENMITTELWERTS.
- Beim Wurzel-n-Gesetz vergessen viele, dass eine Verdopplung der Genauigkeit eine VIERFACHUNG des Stichprobenumfangs bedeutet, nicht nur eine Verdopplung.
- Repraesentativitaet wird oft mit Stichprobengroesse gleichgesetzt. Eine grosse Stichprobe kann trotzdem unrepraesentativ sein (z. B. bei Selbstselektion oder hoher Antwortverweigerungsquote).
Rechenaufgaben mit Lösungsweg
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Rechenaufgabe 1: Wie viele Studierende sind bei einer proportional geschichteten Stichprobe aus jeder Schicht zu befragen? Geben Sie zusaetzlich die Auswahlwahrscheinlichkeit fuer ein einzelnes Element an.
Szenario: Ein Marktforschungsinstitut soll die Zufriedenheit der Studierenden an der DHBW Mannheim erheben. Grundgesamtheit: N = 4.000 Studierende, aufgeteilt in drei Fakultaeten: Wirtschaft (2.400), Technik (1.200), Sozialwesen (400). Aus jeder Schicht soll proportional eine Stichprobe vom Gesamtumfang n = 200 gezogen werden.
Gegeben:
N = 4.000; N1 = 2.400 (Wirtschaft), N2 = 1.200 (Technik), N3 = 400 (Sozialwesen); n = 200
Lösungsweg
Schritt 1
f = 200 / 4.000 = 0,05 = 5%. Bei proportionaler Schichtung erhaelt jede Schicht den gleichen Auswahlsatz.
Schritt 2
n1 = 0,05 * 2.400 = 120 Studierende
Schritt 3
n2 = 0,05 * 1.200 = 60 Studierende
Schritt 4
n3 = 0,05 * 400 = 20 Studierende
Schritt 5
Bei proportionaler Schichtung: P(Auswahl) = n / N = 200 / 4.000 = 0,05, d. h. 5% pro Studierendem gleichmaessig ueber alle Schichten.
Interpretation: Weil der Auswahlsatz in allen Schichten gleich ist (5%), bildet die Stichprobe die Fakultaetsstruktur der Grundgesamtheit exakt ab. Sie ist damit hinsichtlich des Schichtungsmerkmals repraesentativ und kann ohne Gewichtung hochgerechnet werden.
Rechenaufgabe 2: Wie hoch ist das gewichtete durchschnittliche Bruttoeinkommen der gesamten Grundgesamtheit? Warum darf hier NICHT der einfache Mittelwert (3.800 + 1.900)/2 verwendet werden?
Szenario: Bei einer disproportional geschichteten Stichprobe fuer eine Erhebung der Berufstaetigen (N = 100.000) wurden aus zwei Schichten (Vollzeit N1 = 80.000, Teilzeit N2 = 20.000) jeweils gleich viele Personen befragt: n1 = n2 = 100. In der Stichprobe wurde ein durchschnittliches Bruttoeinkommen von x1 = 3.800 EUR (Vollzeit) bzw. x2 = 1.900 EUR (Teilzeit) gemessen.
Gegeben:
N1 = 80.000; N2 = 20.000; N = 100.000; x1_quer = 3.800 EUR; x2_quer = 1.900 EUR; n1 = n2 = 100
Lösungsweg
Schritt 1
w1 = 80.000 / 100.000 = 0,8; w2 = 20.000 / 100.000 = 0,2. Diese Gewichte sind bei disproportionaler Auswahl NICHT gleich dem Stichprobenanteil.
Schritt 2
x_ges = 0,8 * 3.800 + 0,2 * 1.900
Schritt 3
0,8 * 3.800 = 3.040; 0,2 * 1.900 = 380
Schritt 4
x_ges = 3.040 + 380 = 3.420 EUR
Schritt 5
Der einfache Mittelwert unterstellt gleich grosse Schichten. Weil Vollzeit aber 4-mal so viele Faelle in der Grundgesamtheit stellt, wird deren Einkommen unterrepraesentiert.
Interpretation: Bei disproportionaler Schichtung muessen die Schichtmittelwerte mit den Anteilen N_i/N in der Grundgesamtheit gewichtet werden. Ein ungewichteter Mittelwert wuerde zu einem systematisch verzerrten Ergebnis (Stichprobenverzerrung / Bias) fuehren.
Rechenaufgabe 3: Berechnen Sie den Standardfehler des Mittelwerts (= Stichprobenfehler) und das 98%-Konfidenzintervall fuer die durchschnittliche Fahrleistung aller Versicherten.
Szenario: Eine KFZ-Haftpflichtversicherung fuehrt eine repraesentative Zufallsstichprobe unter 625 Versicherten durch. Die durchschnittliche Fahrleistung in der Stichprobe betraegt x_quer = 20.000 km/Jahr, die Varianz in der Grundgesamtheit ist bekannt: sigma^2 = 9.000.000 km^2. Die Fahrleistung ist normalverteilt.
Gegeben:
n = 625; x_quer = 20.000; sigma^2 = 9.000.000 -> sigma = 3.000; Konfidenzniveau 1 - alpha = 0,98 -> z = 2,33
Lösungsweg
Schritt 1
sigma = Wurzel(9.000.000) = 3.000 km
Schritt 2
SE = 3.000 / Wurzel(625) = 3.000 / 25 = 120 km
Schritt 3
Bei zweiseitigem Konfidenzintervall gilt phi(z) = 1 - alpha/2 = 0,99 -> z = 2,33
Schritt 4
20.000 +/- 2,33 * 120 = 20.000 +/- 279,6
Schritt 5
Untergrenze: 20.000 - 279,6 = 19.720,4 km; Obergrenze: 20.000 + 279,6 = 20.279,6 km
Interpretation: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% liegt die wahre durchschnittliche Jahresfahrleistung aller Versicherten zwischen 19.720,4 und 20.279,6 km. Der Stichprobenfehler von 120 km beschreibt, wie stark der Stichprobenmittelwert im Mittel vom wahren Erwartungswert abweicht.
Rechenaufgabe 4: Wie hoch ist der Stichprobenumfang n? Wie gross ist die Auswahlwahrscheinlichkeit fuer einen einzelnen Schueler, und wie unterscheidet sich diese Vorgehensweise vom Verfahren einer einfachen Zufallsauswahl?
Szenario: Eine Klumpenauswahl soll unter 12.000 Schuelern einer Stadt durchgefuehrt werden. Es existieren 400 Klassen mit im Schnitt 30 Schuelern. Aus den 400 Klumpen (= Klassen) werden per Zufall 20 Klassen gezogen und in diesen alle Schueler befragt.
Gegeben:
N = 12.000 Schueler; K = 400 Klumpen (Klassen); Klumpengroesse M = 30; k = 20 gezogene Klumpen
Lösungsweg
Schritt 1
n = 20 * 30 = 600 Schueler werden befragt
Schritt 2
P(Klumpen) = 20 / 400 = 0,05 = 5%. Jede Klasse hat 5% Wahrscheinlichkeit, ausgewaehlt zu werden.
Schritt 3
Da innerhalb eines gezogenen Klumpens ALLE Schueler befragt werden, gilt: P(Schueler) = P(Klumpen ausgewaehlt) * 1 = 5%. Also identisch zum Auswahlsatz einer einfachen Zufallsauswahl (n/N = 600/12.000 = 5%).
Schritt 4
Bei einfacher Zufallsauswahl braeuchte man eine Liste aller 12.000 Schueler. Bei Klumpenauswahl reicht die Liste der 400 Klassen -> geringerer Erhebungsaufwand.
Schritt 5
Schueler einer Klasse aehneln sich (gleiches Alter, gleicher Schulzweig). Innerhalb-Klumpen-Aehnlichkeit fuehrt zu einem NEGATIVEN Klumpeneffekt -> groesserer Stichprobenfehler als bei einfacher Zufallsauswahl gleichen Umfangs.
Interpretation: Klumpenauswahl ist praktisch, weil nur eine Liste der Klumpen erforderlich ist. Der Preis ist eine potenziell geringere Praezision der Schaetzung, wenn die Klumpen intern homogen sind. Deshalb: mehrere Klumpen ziehen und moeglichst heterogene Klumpen bevorzugen.
Rechenaufgabe 5: Welcher Stichprobenumfang n ist erforderlich, um diese Genauigkeit zu erreichen? Wie veraendert sich n, wenn die Fehlermarge halbiert werden soll (e = 1)?
Szenario: Ein Institut plant eine Waehlerbefragung fuer die Bundestagswahl. Die Standardabweichung wird auf sigma = 30 (Prozentpunkte-Skala) geschaetzt. Gewuenscht ist eine maximale Fehlermarge (halbe Breite des Konfidenzintervalls) von e = 2 Prozentpunkten bei einem Konfidenzniveau von 95% (z = 1,96).
Gegeben:
sigma = 30; e = 2; z = 1,96 (95%); Vergleichsfall: e = 1
Lösungsweg
Schritt 1
Umstellen nach n: n = (z * sigma / e)^2
Schritt 2
n = (1,96 * 30 / 2)^2 = (58,8 / 2)^2 = 29,4^2
Schritt 3
n = 864,36 -> aufgerundet n = 865 Befragte
Schritt 4
n = (1,96 * 30 / 1)^2 = 58,8^2 = 3.457,44 -> n = 3.458 Befragte
Schritt 5
Halbierung der Fehlermarge -> Vervierfachung des Stichprobenumfangs (Wurzel-n-Gesetz). n2 / n1 = 3.458 / 865 ~ 4.
Interpretation: Der Standardfehler faellt nur mit Wurzel(n). Wer die Praezision verdoppeln will, muss den Stichprobenumfang vervierfachen -> Kosten steigen ueberproportional. Ab einem gewissen Punkt ist der Zugewinn an Genauigkeit den Aufwand kaum noch wert.
Rechenaufgabe 6: Wie hoch ist der Anteil der grossen Unternehmen am Gesamtumsatz des Wirtschaftszweiges? Rechtfertigt dies die Beschraenkung der Erhebung auf die grossen Unternehmen?
Szenario: Nach dem Konzentrationsprinzip (Abschneideverfahren) meldepflichtig fuer die amtliche Produktionsstatistik sind nur Unternehmen mit mindestens 20 Beschaeftigten. In einem Wirtschaftszweig gibt es 5.000 Unternehmen: 300 mit >= 20 Beschaeftigten (durchschnittlicher Jahresumsatz 8 Mio. EUR) und 4.700 kleinere Unternehmen (durchschnittlicher Jahresumsatz 0,4 Mio. EUR).
Gegeben:
N_gross = 300; U_gross = 8 Mio. EUR; N_klein = 4.700; U_klein = 0,4 Mio. EUR
Lösungsweg
Schritt 1
U1 = 300 * 8 = 2.400 Mio. EUR = 2,4 Mrd. EUR
Schritt 2
U2 = 4.700 * 0,4 = 1.880 Mio. EUR = 1,88 Mrd. EUR
Schritt 3
U_ges = 2.400 + 1.880 = 4.280 Mio. EUR
Schritt 4
a1 = 2.400 / 4.280 = 0,5607 ~ 56,07 %
Schritt 5
Nur 6% der Unternehmen erwirtschaften 56% des Umsatzes.
Interpretation: Das Konzentrationsprinzip ist gerechtfertigt, wenn ein kleiner Teil der Grundgesamtheit einen Grossteil der Merkmalssumme erklaert (hier: Umsatz). Nachteil: Aussagen ueber kleine Unternehmen sind mit dieser Stichprobe nicht moeglich, und Strukturbrueche in der Kleinfirmen-Landschaft werden systematisch uebersehen.
Verständnis- & Interpretationsfragen
Frage 1 Warum kann bei einer willkuerlichen Auswahl (Auswahl aufs Geratewohl) kein Konfidenzintervall berechnet werden, obwohl formell ein Mittelwert und eine Standardabweichung berechnet werden koennten?
Antwort: Weil die Auswahlwahrscheinlichkeit fuer die einzelnen Elemente nicht bekannt und nicht berechenbar ist. Damit fehlt die Grundlage fuer die wahrscheinlichkeitstheoretischen Aussagen (Verteilung des Stichprobenmittelwerts).
Formeln fuer Konfidenzintervalle setzen voraus, dass die Stichprobe eine Zufallsstichprobe aus der Grundgesamtheit ist. Bei willkuerlicher Auswahl ist der Auswahlprozess systematisch verzerrt (Ort, Zeit, Sympathie des Interviewers) und der 'Fehler' kann nicht quantifiziert werden.
Frage 2 Was ist der Unterschied zwischen einer proportional geschichteten Stichprobe und einer Quotenstichprobe? Beide beruecksichtigen doch Strukturmerkmale der Grundgesamtheit?
Antwort: Bei der proportional geschichteten Zufallsstichprobe erfolgt die Auswahl WITHIN jeder Schicht per Zufall (also nach dem Zufallsprinzip). Bei der Quotenauswahl bleibt die Auswahl der konkreten Elemente im Ermessen des Interviewers.
Konsequenz: Geschichtete Stichproben erlauben statistische Inferenz (Konfidenzintervall, Test); Quotenstichproben nicht, weil die Auswahlwahrscheinlichkeit innerhalb der Quote unbekannt ist. Ausserdem wird der Interviewer die Quoten moeglichst bequem fuellen (Verzerrungsgefahr).
Frage 3 Der DAX enthaelt die 30 groessten deutschen Aktiengesellschaften. Welchem Stichprobenverfahren entspricht das, und was ist der methodische Preis?
Antwort: Konzentrationsprinzip (Abschneideverfahren) im Rahmen der bewussten Auswahl. Ausgewaehlt werden gezielt die wichtigsten Faelle nach Marktkapitalisierung und Boersenhandelsumsatz.
Methodischer Preis: Aussagen ueber den 'deutschen Aktienmarkt' insgesamt (inkl. Mid Cap, Small Cap, Nebenwerte) sind ueber den DAX nicht moeglich. Der Index misst nur das Segment der 30 grossen AGs, keine repraesentative Zufallsstichprobe deutscher Unternehmen.
Frage 4 Warum sagt man, das Wurzel-n-Gesetz mache Praezision teuer? Was folgt daraus fuer die Stichprobenplanung?
Antwort: Der Standardfehler faellt nur mit Wurzel(n). Halbiert man die Fehlermarge, muss man den Stichprobenumfang vervierfachen; drittelt man sie, verneunfacht sich der Umfang.
Die Kosten steigen ueberproportional zur Genauigkeit. In der Praxis waehlt man daher meist einen Kompromiss zwischen zulaessiger Fehlermarge und Budget. Ab einem Konfidenzniveau/Praezisionsziel wird der Zusatznutzen weiterer Befragter marginal.
Frage 5 Beim Schuelerbeispiel wird in einer Klumpenauswahl eine Klasse gezogen und alle Schueler befragt. Warum ist das Ergebnis potenziell weniger genau als bei einer einfachen Zufallsstichprobe gleicher Groesse?
Antwort: Wegen des negativen Klumpeneffekts: Schueler einer Klasse sind einander aehnlich (Alter, Schulzweig, Lehrerpraegung, Region). Die effektive Informationsmenge ist geringer als die Anzahl der Faelle vermuten laesst.
Statistisch: Die Beobachtungen sind INNERHALB des Klumpens positiv korreliert. Damit ist der Standardfehler groesser als sigma/Wurzel(n). Deshalb: mehrere Klumpen ziehen, moeglichst heterogene Klumpen bevorzugen.
Frage 6 Der Zensus 2011 nutzte eine Haushaltsbefragung bei ca. 10 % der Bevoelkerung mit Schichtung nach Gemeindetypen und Anschriftengroessen. Welchen Vorteil bietet diese Schichtung gegenueber einer einfachen Zufallsauswahl?
Antwort: Sie erzwingt Mindestfallzahlen fuer bestimmte Gemeindetypen (kleine Doerfer, Metropolen etc.) und liefert daher genauere Schaetzungen auf Ebene der Schichten. Ausserdem entsteht typischerweise ein positiver Schichtungseffekt, d. h. der Gesamt-Standardfehler ist geringer.
Wenn die Schichtungsmerkmale (Gemeindetyp) mit den Untersuchungsmerkmalen korrelieren (z. B. Haushaltsstruktur, Wohnform), reduziert die Schichtung die Varianz der Schaetzer -> genauere Ergebnisse pro befragtem Haushalt.