04. Korrelations- und Regressionsanalyse | Statistik Klausurvorbereitung

Auf einen Blick

Die Korrelations- und Regressionsanalyse untersucht Zusammenhänge zwischen zwei (oder mehr) Merkmalen. Die Korrelationsanalyse misst nur STÄRKE und RICHTUNG eines Zusammenhangs; die Regressionsanalyse modelliert die FUNKTIONALE ABHÄNGIGKEIT und erlaubt Prognosen. Die Wahl des Verfahrens richtet sich nach dem Skalenniveau: Kontingenzkoeffizient (nominal), Spearman-Rho (ordinal), Bravais-Pearson-r (kardinal). Bei gemischten Skalen richtet man sich nach dem niedriger skalierten Merkmal. Die lineare Einfachregression y = a + b·x wird mit der Methode der kleinsten Quadrate geschätzt (Minimierung der quadrierten Residuen). Zentrale Kennzahlen: b (Steigung) = SP_xy/SQ_x, a = y_quer - b·x_quer, und das Bestimmtheitsmaß R² = b²·SQ_x/SQ_y als Anteil der erklärten Varianz. In der Klausur wird typischerweise verlangt: Kennzahlen aus Rohdaten berechnen, Regressionsgerade aufstellen, R² bestimmen und alle Ergebnisse inhaltlich interpretieren (Steigung, Achsenabschnitt, Bestimmtheitsmaß). Wichtige Fallstricke: Korrelation ist keine Kausalität (Scheinkorrelation), R² misst erklärte Varianz nicht Punkte-auf-Gerade, und ein niedriger r-Wert schließt nichtlineare Zusammenhänge nicht aus — daher immer Streudiagramm zuerst ansehen.

Schlüsselbegriffe

Streudiagramm (Scatterplot)

Grafische Darstellung von Wertepaaren (x_i, y_i) in einem kartesischen Koordinatensystem. Jeder Punkt entspricht einer Beobachtung.

Warum wichtig: Erster Schritt jeder Korrelations-/Regressionsanalyse. Zeigt visuell, ob ein linearer, nichtlinearer oder gar kein Zusammenhang vorliegt. Vorbeugung vor Fehlanwendung linearer Verfahren bei nichtlinearem Muster (z. B. Parabelverlauf → lineare Regression unpassend).

Kovarianz

Maß für die gemeinsame lineare Streuung zweier metrischer Merkmale X und Y. Formel: s_xy = (1/n)·Σ(x_i-x_quer)(y_i-y_quer). Kann positiv, negativ oder null sein.

Warum wichtig: Grundlage des Bravais-Pearson-Koeffizienten. Vorzeichen zeigt Richtung, aber der Betrag ist einheitsabhängig und daher schwer interpretierbar — deshalb wird durch Standardabweichungen normiert (= r).

Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient r

Auch Produkt-Moment-Korrelation genannt. Normierte Kovarianz: r = s_xy / (s_x · s_y). Wertebereich -1 ≤ r ≤ +1. Misst STÄRKE und RICHTUNG des LINEAREN Zusammenhangs kardinaler Merkmale.

Warum wichtig: Standardverfahren bei metrischen Daten. Interpretation: r=+1 perfekt positiv linear, r=-1 perfekt negativ linear, r=0 kein linearer Zusammenhang (kann trotzdem nichtlinearen geben!).

Spearman-Rangkorrelation rho_S

Korrelation der Rangzahlen zweier Merkmale. Formel (ohne Bindungen): rho_S = 1 - 6·Σd_i² / (n·(n²-1)). Wertebereich -1 bis +1.

Warum wichtig: Anwendbar bei ordinalen Merkmalen (z. B. Ranglisten, Schulnoten, Präferenzen). Auch robust gegen Ausreißer bei metrischen Daten und geeignet für monotone, aber nichtlineare Zusammenhänge.

Kontingenzkoeffizient

Zusammenhangsmaß für zwei NOMINAL skalierte Merkmale, basierend auf einer Kreuztabelle (Kontingenztafel). Verwendet Chi²-Statistik. Wertebereich: 0 bis maximal < 1.

Warum wichtig: Einzige Möglichkeit, den Zusammenhang zwischen nominalen Merkmalen (z. B. Geschlecht × Studienfach) zu quantifizieren. Bravais-Pearson und Spearman scheiden hier aus.

Lineare Einfachregression

Statistisches Modell: y_i = a + b·x_i + e_i mit abhängiger Variable Y (Regressand), unabhängiger Variable X (Regressor), Residuum e_i. Geschätzt via Methode der kleinsten Quadrate.

Warum wichtig: Anders als Korrelation: Regression modelliert FUNKTIONALE Abhängigkeit und ermöglicht PROGNOSE. Beide Variablen müssen normalerweise kardinal sein (Ausnahme: Dummy-Variablen mit 0/1 als X).

Bestimmtheitsmaß R²

Anteil der durch das Regressionsmodell erklärten Streuung an der Gesamtstreuung von Y. Wertebereich 0 ≤ R² ≤ 1. Bei einfacher linearer Regression gilt R² = r².

Warum wichtig: Zentrale Kennzahl der Modellgüte. R² = 0,9 heißt: 90% der Varianz von Y werden erklärt — NICHT: 90% der Datenpunkte liegen auf der Geraden (häufiger Denkfehler in Klausuren!).

Residuum

Differenz zwischen beobachtetem Y-Wert und dem durch die Regression geschätzten Wert: e_i = y_i - y_dach_i. Vertikaler Abstand vom Punkt zur Regressionsgeraden.

Warum wichtig: Die KQ-Methode wählt genau die Gerade, welche die Summe der quadrierten Residuen minimiert. Analyse der Residuen erlaubt Modelldiagnose (Ausreißer, Nichtlinearität, Heteroskedastizität).

Scheinkorrelation

Hoher rechnerischer Korrelationskoeffizient, der aber inhaltlich nicht sinnvoll begründbar ist. Oft durch eine dritte, nicht beobachtete Variable verursacht.

Warum wichtig: Klassisches Beispiel: Anzahl Störche vs. Geburtenrate — beide korreliert mit Ländlichkeit. Warnung: Korrelation ≠ Kausalität! Immer sachlogische Prüfung der Ergebnisse.

Formeln zum Anwenden

Diese Formeln musst du in der Klausur einsetzen und damit rechnen können.

Empirische Kovarianz

$$s_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

Symbole x_i, y_i: einzelne Beobachtungswerte; x_quer, y_quer: arithmetische Mittelwerte; n: Anzahl Beobachtungen; s_xy: Kovarianz (Vorzeichen zeigt Richtung des Zusammenhangs).

Anwenden wenn Kovarianz misst gemeinsame Streuung von X und Y. Baustein für Bravais-Pearson. Positiv = gleichgerichtet, negativ = gegenläufig, 0 = kein linearer Zusammenhang.

Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson

$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$

Symbole Zähler = SP_xy (Summe der Kreuzprodukte der Abweichungen); Nenner enthält SQ_x und SQ_y (Streuungssummen). Wertebereich: -1 ≤ r ≤ +1.

Anwenden wenn Bei zwei KARDINAL skalierten Merkmalen. Misst Stärke und Richtung des LINEAREN Zusammenhangs. Interpretation: |r| > 0,8 stark, 0,5-0,8 mittel, < 0,5 schwach.

Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman

$$\rho_S = 1 - \frac{6 \cdot \sum d_i^2}{n \cdot (n^2 - 1)}$$

Symbole d_i = Differenz der Rangzahlen einer Beobachtung i (Rang_X - Rang_Y); n: Anzahl Beobachtungen. Gilt nur ohne Bindungen. Wertebereich: -1 bis +1.

Anwenden wenn Bei ORDINAL skalierten Merkmalen oder bei kardinalen Daten mit nichtlinearem, aber monotonem Zusammenhang. Erst Ränge vergeben, dann Formel anwenden.

Regressionskoeffizient b (Steigung)

$$b = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \frac{SP_{xy}}{SQ_x}$$

Symbole SP_xy: Summe der Kreuzprodukte der Abweichungen (Zähler); SQ_x: Streuungssumme von X (Nenner). b hat die Einheit [Y-Einheit / X-Einheit].

Anwenden wenn Methode der kleinsten Quadrate für einfache lineare Regression y_dach = a + b·x. b gibt an, um wieviel sich Y bei Erhöhung von X um eine Einheit ändert.

Achsenabschnitt a

$$a = \bar{y} - b \cdot \bar{x}$$

Symbole y_quer, x_quer: arithmetische Mittelwerte; b: zuvor berechnete Steigung. Nutzt die Eigenschaft, dass die Regressionsgerade durch (x_quer, y_quer) verläuft.

Anwenden wenn Nach der Berechnung von b, um die Regressionsgerade y_dach = a + b·x zu vervollständigen. a ist der Y-Wert bei x = 0.

Bestimmtheitsmaß R²

$$R^2 = \frac{b^2 \cdot \sum (x_i - \bar{x})^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2} = \frac{b^2 \cdot SQ_x}{SQ_y}$$

Symbole SQ_x, SQ_y: Streuungssummen von X und Y; b: Regressionskoeffizient. Wertebereich: 0 ≤ R² ≤ 1. Bei einfacher linearer Regression gilt: R² = r².

Anwenden wenn Beurteilung der Anpassungsgüte der Regression: Anteil der durch das Modell erklärten Varianz an der Gesamtvarianz von Y. Nahe 1 = sehr gute Anpassung.

Residuum (Fehler) einer Beobachtung

$$e_i = y_i - \hat{y}_i = y_i - (a + b \cdot x_i)$$

Symbole y_i: tatsächlich beobachteter Wert; y_dach_i: durch die Regression prognostizierter Wert. Vertikale Abweichung Punkt-Gerade.

Anwenden wenn Zur Beurteilung einzelner Prognosefehler und zur Prüfung der Modellgüte. Die KQ-Methode minimiert Σ e_i². Summe aller Residuen = 0.

Typische Fallen & Verwechslungen

R² = 0,90 bedeutet NICHT, dass 90% der Datenpunkte auf der Regressionsgeraden liegen — sondern dass 90% der Varianz von Y durch das Modell erklärt werden. Diese Verwechslung ist ein Klassiker im Multiple Choice (siehe Check-up Frage 15).
Skalenniveau beachten: Bravais-Pearson NUR bei kardinalen (metrischen) Merkmalen, Spearman ab ordinalem Niveau, Kontingenzkoeffizient bei nominalen Merkmalen. Bei gemischten Niveaus richtet man sich nach dem niedriger skalierten Merkmal.
Korrelation ≠ Kausalität: Ein hoher r-Wert kann durch eine dritte Variable (Störchen und Geburten-Beispiel) verursacht sein. Immer sachlogische Plausibilität prüfen — sonst Scheinkorrelation.
Regressionsanalyse ist NICHT symmetrisch: Ergebnisse hängen davon ab, welche Variable als abhängige (Y) und welche als unabhängige (X) definiert wird. Für Y auf X ergibt sich eine ANDERE Gerade als für X auf Y.
R² und r verwechseln: r kann negativ sein (-1 bis +1), R² ist immer nicht-negativ (0 bis 1). Bei einfacher linearer Regression gilt: R² = r². Ein r = -0,9 ergibt also R² = 0,81 — hoher, aber negativer linearer Zusammenhang.
Bei Interpretation von b: Einheit nicht vergessen! Wenn Y in 1.000 EUR und X in Stück gemessen ist, dann ist b eine Änderungsrate mit der Einheit '1.000 EUR pro Stück'.
Residuen beziehen sich auf die abhängige Variable Y (vertikale Abstände zur Regressionsgeraden), NICHT auf X. Die Methode der kleinsten Quadrate minimiert Σe_i² = Σ(y_i - y_dach_i)².

Rechenaufgaben mit Lösungsweg

Klick auf eine Aufgabe für den kompletten Rechenweg Schritt für Schritt.

Rechenaufgabe 1: Berechnen Sie die lineare Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate (a und b) sowie das Bestimmtheitsmaß R². Interpretieren Sie die Werte.

Szenario: Für 5 Reisebüros werden Umsatz Y (in 1.000 EUR) und Anzahl verkaufter Reisen X untersucht. Vereinfachtes Beispiel: x = [200, 300, 400, 500, 600], y = [470, 640, 790, 930, 970]. Mittelwerte: x_quer = 400, y_quer = 760.

Gegeben:
n = 5; x = [200, 300, 400, 500, 600]; y = [470, 640, 790, 930, 970]; x_quer = 400; y_quer = 760

Lösungsweg

Schritt 1

$$(x_i - \bar{x}): -200,\ -100,\ 0,\ 100,\ 200 \quad ; \quad (y_i - \bar{y}): -290,\ -120,\ 30,\ 170,\ 210$$

Für die KQ-Methode benötigen wir die Abweichungen jedes Wertes vom Mittelwert. Diese bilden die Grundlage für Kovarianz und Varianzen.

Schritt 2

$$SP_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (-200)(-290) + (-100)(-120) + 0 \cdot 30 + 100 \cdot 170 + 200 \cdot 210 = 58\,000 + 12\,000 + 0 + 17\,000 + 42\,000 = 129\,000$$

Summe der Kreuzprodukte der Abweichungen — das ist der Zähler für den Regressionskoeffizienten b.

Schritt 3

$$SQ_x = \sum (x_i - \bar{x})^2 = 40\,000 + 10\,000 + 0 + 10\,000 + 40\,000 = 100\,000$$

Summe der quadrierten Abweichungen von X — Streuung der unabhängigen Variable.

Schritt 4

$$b = \frac{SP_{xy}}{SQ_x} = \frac{129\,000}{100\,000} = 1{,}29$$

Steigung der Regressionsgeraden. Bedeutung: Pro zusätzlicher verkaufter Reise steigt der Umsatz im Schnitt um 1,29 · 1.000 EUR = 1.290 EUR.

Schritt 5

$$a = \bar{y} - b \cdot \bar{x} = 760 - 1{,}29 \cdot 400 = 760 - 516 = 244$$

Achsenabschnitt. Die Regressionsgerade lautet: y_dach = 244 + 1,29·x.

Schritt 6

$$SQ_y = \sum (y_i - \bar{y})^2 = 84\,100 + 14\,400 + 900 + 28\,900 + 44\,100 = 172\,400$$

Gesamtstreuung von Y — Nenner für R².

Schritt 7

$$R^2 = \frac{b^2 \cdot SQ_x}{SQ_y} = \frac{1{,}29^2 \cdot 100\,000}{172\,400} = \frac{1{,}6641 \cdot 100\,000}{172\,400} = \frac{166\,410}{172\,400} \approx 0{,}965$$

Bestimmtheitsmaß. Formel: R² = (b² · SQ_x) / SQ_y. Alternativ: R² = SP_xy² / (SQ_x · SQ_y).

Ergebnis: y_dach = 244 + 1,29·x; R² ≈ 0,965 bzw. 96,5%

Interpretation: Rund 96,5% der Streuung des Umsatzes werden durch die Anzahl verkaufter Reisen (lineare Regression) erklärt — sehr gute Anpassung. Die Punkte liegen fast auf einer Geraden. Der Achsenabschnitt a = 244 hat hier keine sinnvolle sachliche Bedeutung (Umsatz bei 0 Reisen).

Rechenaufgabe 2: Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson und interpretieren Sie das Ergebnis.

Szenario: In einem Zoogeschäft wird der Zusammenhang zwischen Werbeausgaben X (in 100 EUR) und Umsatz Y (in 1000 EUR) für 5 Monate untersucht: x = [1, 2, 3, 4, 5], y = [3, 5, 6, 8, 8]. Mittelwerte: x_quer = 3, y_quer = 6.

Gegeben:
n = 5; x = [1, 2, 3, 4, 5]; y = [3, 5, 6, 8, 8]

Lösungsweg

Schritt 1

$$(x_i - \bar{x}): -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2 \quad ; \quad (y_i - \bar{y}): -3,\ -1,\ 0,\ 2,\ 2$$

Ausgangspunkt für Kovarianz und Standardabweichungen.

Schritt 2

$$SP_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13$$

Zähler des Bravais-Pearson-Koeffizienten (n-mal empirische Kovarianz).

Schritt 3

$$SQ_x = \sum (x_i - \bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$$

Streuungssumme von X.

Schritt 4

$$SQ_y = \sum (y_i - \bar{y})^2 = 9 + 1 + 0 + 4 + 4 = 18$$

Streuungssumme von Y.

Schritt 5

$$r = \frac{SP_{xy}}{\sqrt{SQ_x \cdot SQ_y}} = \frac{13}{\sqrt{10 \cdot 18}} = \frac{13}{\sqrt{180}} = \frac{13}{13{,}416} \approx 0{,}969$$

Formel: r = Σ(xi-x_quer)(yi-y_quer) / sqrt(Σ(xi-x_quer)² · Σ(yi-y_quer)²)

Ergebnis: r ≈ 0,969

Interpretation: Sehr starker positiver linearer Zusammenhang zwischen Werbeausgaben und Umsatz. Wertebereich von r liegt zwischen -1 und +1; 0,969 ist nahe an +1, die Punkte liegen also fast exakt auf einer steigenden Geraden. Hohe Werbeausgaben gehen mit hohen Umsätzen einher.

Rechenaufgabe 3: Berechnen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman (rho_S) und interpretieren Sie das Ergebnis.

Szenario: Zwei Juroren bewerten 6 Produkte durch eine Rangreihe von 1 (beste) bis 6 (schlechteste). Juror A: [1, 2, 3, 4, 5, 6]; Juror B: [2, 1, 4, 3, 6, 5]. Beide Merkmale sind ordinal skaliert (Rangzahlen).

Gegeben:
n = 6; Rangdifferenzen di sind noch zu berechnen. Es gibt keine Bindungen.

Lösungsweg

Schritt 1

$$d_i = \text{Rang}_A - \text{Rang}_B:\ 1-2 = -1;\ 2-1 = +1;\ 3-4 = -1;\ 4-3 = +1;\ 5-6 = -1;\ 6-5 = +1$$

Für jedes Produkt wird die Differenz der beiden Rangwerte gebildet.

Schritt 2

$$d_i^2: 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1 \;\Rightarrow\; \sum d_i^2 = 6$$

Vorzeichen entfallen durch Quadrieren — es zählt der Betrag der Abweichung.

Schritt 3

$$\rho_S = 1 - \frac{6 \cdot \sum d_i^2}{n \cdot (n^2 - 1)}$$

Spearman-Rho für den Fall ohne Bindungen (keine Doppelvergabe eines Rangs).

Schritt 4

$$\rho_S = 1 - \frac{6 \cdot 6}{6 \cdot (36 - 1)} = 1 - \frac{36}{6 \cdot 35} = 1 - \frac{36}{210}$$

n² - 1 = 35; n · (n² - 1) = 210.

Schritt 5

$$\rho_S = 1 - 0{,}1714 \approx 0{,}829$$

36/210 = 0,1714; 1 - 0,1714 = 0,8286.

Ergebnis: rho_S ≈ 0,829

Interpretation: Der Wertebereich liegt zwischen -1 und +1. rho_S = 0,83 zeigt eine starke positive Übereinstimmung der beiden Juroren-Rangreihen. Wo A hohe Ränge vergibt, tut es auch B — die Urteile sind sehr ähnlich, wenn auch nicht identisch.

Rechenaufgabe 4: a) Prognostizieren Sie die Kosten bei einer Produktion von 40 Schränken pro Quartal. b) Interpretieren Sie a, b und R². c) Bestimmen Sie das Residuum, wenn tatsächlich Kosten von 92.000 EUR beobachtet wurden.

Szenario: Ein Möbelbetrieb stellt Holzschränke her. Es besteht eine lineare Abhängigkeit der Kosten Y (in EUR) von der hergestellten Menge X. Regressionsgerade: y_dach = 50.000 + 1.000·x mit R² = 0,90.

Gegeben:
a = 50.000 EUR (Fixkosten pro Quartal); b = 1.000 EUR/Stück (variable Kosten); R² = 0,90; x = 40 Schränke; y_beobachtet = 92.000 EUR

Lösungsweg

Schritt 1

$$\hat{y} = 50\,000 + 1\,000 \cdot 40 = 50\,000 + 40\,000 = 90\,000\ \text{EUR}$$

Bei 40 Schränken werden Kosten von 90.000 EUR pro Quartal erwartet.

Schritt 2

$$\text{Interpretation von } a:\ a = 50\,000\ \text{EUR} = \text{Fixkosten pro Quartal, die auch bei } x = 0 \text{ (keine Produktion) anfallen}$$

Achsenabschnitt: y-Wert der Regressionsgeraden bei x = 0.

Schritt 3

$$\text{Interpretation von } b:\ b = 1\,000\ \text{EUR/Stück} = \text{variable Stückkosten. Jeder zusätzliche Schrank erhöht die Kosten um } 1\,000\ \text{EUR}$$

Steigung der Regressionsgeraden = Grenzkosten.

Schritt 4

$$\text{Interpretation von } R^2 = 0{,}90:\ 90\%\ \text{der Gesamtvarianz/Streuung der Kosten werden durch die lineare Regression (Menge) erklärt}$$

Achtung: R² sagt NICHT, dass 90% der Datenpunkte auf der Geraden liegen! Sondern es misst den Anteil der erklärten Varianz.

Schritt 5

$$e_i = y_{\text{beobachtet}} - \hat{y} = 92\,000 - 90\,000 = +2\,000\ \text{EUR}$$

Formel: e_i = y_i - y_dach_i. Positives Residuum: tatsächliche Kosten liegen 2.000 EUR über der Regressionsschätzung.

Ergebnis: y_dach(40) = 90.000 EUR; Residuum = +2.000 EUR; R² = 90% erklärte Streuung

Interpretation: Das Modell erklärt 90% der Kostenschwankung durch die produzierte Menge — sehr gute Anpassung. Der beobachtete Wert liegt 2.000 EUR über der Prognose (positives Residuum). Fixkosten von 50.000 EUR und Grenzkosten von 1.000 EUR pro Schrank sind sachlich plausibel.

Rechenaufgabe 5: Berechnen Sie die Regressionsgerade y_dach = a + b·x sowie das Bestimmtheitsmaß R² und interpretieren Sie beide.

Szenario: Für 7 Reisebüros werden aus Aufgabe 17 die folgenden Kennzahlen ermittelt: SP_xy = 84.550; SQ_x = 39.450; SQ_y = 187.000; x_quer = 315; y_quer = 720; n = 7.

Gegeben:
SP_xy = 84.550; SQ_x = 39.450; SQ_y = 187.000; x_quer = 315; y_quer = 720

Lösungsweg

Schritt 1

$$b = \frac{SP_{xy}}{SQ_x} = \frac{84\,550}{39\,450} \approx 2{,}1432$$

Steigung: pro zusätzlich verkaufter Reise steigt der Umsatz um ca. 2.143 EUR (bei Umsatz in 1.000 EUR).

Schritt 2

$$a = \bar{y} - b \cdot \bar{x} = 720 - 2{,}1432 \cdot 315$$

Regressionsgerade geht durch den Punkt (x_quer, y_quer) — daher diese Umformung.

Schritt 3

$$a = 720 - 675{,}108 = 44{,}892$$

Der Achsenabschnitt der geschätzten Regressionsgeraden.

Schritt 4

$$\hat{y} = 44{,}892 + 2{,}143 \cdot x$$

Fertige Prognosegleichung.

Schritt 5

$$R^2 = \frac{b^2 \cdot SQ_x}{SQ_y} = \frac{2{,}1432^2 \cdot 39\,450}{187\,000}$$

Formel für R² bei einfacher linearer Regression.

Schritt 6

$$R^2 = \frac{4{,}5933 \cdot 39\,450}{187\,000} = \frac{181\,209}{187\,000} \approx 0{,}969$$

Zähler = 2,1432² · 39.450 ≈ 181.209.

Ergebnis: y_dach = 44,892 + 2,143·x; R² ≈ 0,969

Interpretation: Rund 96,9% der Streuung der Umsatzwerte werden durch die Anzahl verkaufter Reisen erklärt. Sehr gute Modellanpassung. Steigung 2,143 bedeutet: eine zusätzliche Reise erhöht den Umsatz um ca. 2.143 EUR.

Rechenaufgabe 6: Berechnen Sie die Regressionsgerade und das Bestimmtheitsmaß R². Beurteilen Sie die Sinnhaftigkeit einer linearen Regression.

Szenario: Bei einer Studie zum Einsatz eines Schädlingsbekämpfungsmittels ergibt sich zwischen Menge (x) und Ernteertrag (y) folgender Zusammenhang: SP_xy = -0,215; SQ_x = 9,361; SQ_y = 7,965; x_quer = 1,37; y_quer = 3,45.

Gegeben:
SP_xy = -0,215; SQ_x = 9,361; SQ_y = 7,965; x_quer = 1,37; y_quer = 3,45

Lösungsweg

Schritt 1

$$b = \frac{SP_{xy}}{SQ_x} = \frac{-0{,}215}{9{,}361} \approx -0{,}02297$$

Negative Steigung: bei mehr Schädlingsbekämpfungsmittel sinkt der Ertrag leicht (rechnerisch).

Schritt 2

$$a = \bar{y} - b \cdot \bar{x} = 3{,}45 - (-0{,}02297) \cdot 1{,}37 = 3{,}45 + 0{,}03147 \approx 3{,}481$$

Vorzeichen beachten: minus mal minus = plus.

Schritt 3

$$\hat{y} = 3{,}481 - 0{,}023 \cdot x$$

Aufstellung der Prognosegleichung.

Schritt 4

$$R^2 = \frac{b^2 \cdot SQ_x}{SQ_y} = \frac{(-0{,}02297)^2 \cdot 9{,}361}{7{,}965}$$

R² kann auch bei negativer Steigung nur positiv sein (wegen Quadrat).

Schritt 5

$$R^2 = \frac{0{,}000528 \cdot 9{,}361}{7{,}965} = \frac{0{,}004941}{7{,}965} \approx 0{,}0006$$

Extrem kleiner Wert — praktisch keine erklärende Kraft.

Schritt 6

$$R^2 \approx 0{,}0006 = 0{,}06\%$$

Nur 0,06% der Ertragsstreuung werden durch die Regressionsgerade erklärt.

Ergebnis: y_dach = 3,481 - 0,023·x; R² ≈ 0,0006 (~0%)

Interpretation: Die Erklärungskraft ist praktisch null. Der Zusammenhang ist NICHT linear — ein Streudiagramm zeigt einen parabelförmigen (nichtlinearen) Verlauf. Eine Gerade durch diese Punktewolke zu legen ist nicht sinnvoll; besser wäre ein nichtlineares Modell (z. B. quadratische Regression).

Verständnis- & Interpretationsfragen

Frage 1 Ein Korrelationskoeffizient von r = -0,95 zwischen Studienzeit und Klausurangst wird berechnet. Wie interpretieren Sie das Ergebnis?

Antwort: Sehr starker negativer linearer Zusammenhang: Je mehr Studienzeit, desto weniger Klausurangst — und umgekehrt.

|r| = 0,95 liegt sehr nahe bei 1, also sehr starker Zusammenhang. Das Minuszeichen zeigt die Richtung: gegenläufig. Die Punkte im Streudiagramm liegen fast exakt auf einer FALLENDEN Geraden. Achtung: r sagt nichts über Kausalität — es könnten dritte Variablen (z. B. Gewissenhaftigkeit) beide Größen beeinflussen.

Frage 2 Sie erhalten in einer Regression y_dach = 200 + 5·x mit R² = 0,04. Ist diese Regression brauchbar?

Antwort: Nein, R² = 0,04 bedeutet, dass nur 4% der Streuung von Y erklärt werden — die Regressionsgerade hat praktisch keine Prognosekraft.

Auch wenn die Steigung positiv ist, ist der lineare Zusammenhang extrem schwach. Möglicherweise besteht überhaupt kein Zusammenhang, oder der Zusammenhang ist nichtlinear (z. B. quadratisch). Ein Blick ins Streudiagramm sollte immer erfolgen.

Frage 3 Welches Korrelationsmaß wählen Sie, wenn Sie den Zusammenhang zwischen Geschlecht (m/w/d) und bevorzugter Automarke (BMW/Audi/VW) untersuchen wollen?

Antwort: Kontingenzkoeffizient (basierend auf Chi²).

Beide Merkmale sind nominal skaliert. Bravais-Pearson (kardinal) und Spearman (mindestens ordinal) scheiden aus. Man erstellt eine Kreuztabelle und berechnet Chi² und daraus den Kontingenzkoeffizienten C.

Frage 4 Warum ist die Aussage 'Bei R² = 0,90 liegen 90% der Datenpunkte auf der Regressionsgeraden' FALSCH?

Antwort: R² misst den Anteil der ERKLÄRTEN VARIANZ von Y, nicht den Anteil der Punkte auf der Geraden.

R² = 0,90 heißt: 90% der Gesamtstreuung von Y werden durch die lineare Regression (mittels X) erklärt. Die einzelnen Punkte streuen weiterhin um die Gerade herum — nur weniger als vor der Berücksichtigung von X. Auf der Geraden liegen nur die geschätzten Werte y_dach, nicht die tatsächlichen Beobachtungen.

Frage 5 In einer Regression Kosten = f(Menge) erhalten Sie a = 10.000, b = 50, R² = 0,85. Was bedeuten diese Werte konkret?

Antwort: a = 10.000 sind die Fixkosten (Kosten bei Produktion = 0). b = 50 sind die variablen Stückkosten (Grenzkosten). R² = 0,85 bedeutet, dass 85% der Kostenschwankungen durch die Produktionsmenge erklärt werden.

In Kostenfunktionen ist die Interpretation von a und b besonders klar: a = Fixkostenblock, b = variable Kosten je Einheit. R² sagt uns, wie gut das lineare Modell die tatsächlichen Kosten erklärt — 85% ist eine gute Anpassung, aber 15% Streuung bleibt durch andere Einflüsse (Lohnkosten, Materialpreise etc.).

Frage 6 In einem Streudiagramm sehen Sie einen deutlichen U-förmigen (parabolischen) Verlauf. Was ergibt eine Bravais-Pearson-Korrelation?

Antwort: r wird nahe 0 sein, obwohl ein starker (nichtlinearer) Zusammenhang besteht.

r misst nur den LINEAREN Zusammenhang. Bei einem U-förmigen Muster heben sich positive und negative Abweichungen fast auf — r ist niedrig. Der Zusammenhang ist trotzdem stark, nur eben nichtlinear. Diagnose: immer erst Streudiagramm anschauen! Bei nichtlinearem Muster: Spearman oder nichtlineare Regression verwenden.

Frage 7 Ein Analyst berichtet: 'Wir haben einen Korrelationskoeffizienten von 1,3 zwischen Werbeausgaben und Umsatz gefunden.' Was fällt Ihnen auf?

Antwort: Das Ergebnis ist unmöglich — der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient liegt immer im Wertebereich -1 ≤ r ≤ +1. Es muss ein Rechen- oder Übertragungsfehler vorliegen.

Der Wertebereich ist mathematisch durch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung garantiert. Ein Wert außerhalb [-1, +1] ist ein sicheres Zeichen für einen Fehler in der Berechnung, im Import oder in der Formel.