03. Lage- und Streuungsparameter | Statistik Klausurvorbereitung

Auf einen Blick

Kompaktes Klausur-Coaching zu Lage- und Streuungsparametern nach dem Skript und der Aufgabensammlung von Prof. Hubert (DHBW Mannheim). Kern der Klausurleistung ist das saubere ANWENDEN der Formeln — nicht das Auswendiglernen. Lageparameter: arithmetisches Mittel (nur kardinal, ausreißerempfindlich), Median (ab ordinal, robust), Modus (ab nominal). Streuung: Spannweite, Varianz und Standardabweichung, Variationskoeffizient (dimensionslos, für Verteilungsvergleiche), Quartilsabstand. Fechnersche Lageregel: M < Z < x̄ = rechtsschief, x̄ < Z < M = linksschief. Bei klassierten Daten wird stets über Klassenmitten gerechnet; der Median bei klassierten Daten wird linear interpoliert. Merkregel für die Klausur: Immer Werte SORTIEREN vor Median-Berechnung, Einheiten sauber mitführen (s² in cm², s in cm), und bei starken Ausreißern lieber Median statt Mittelwert wählen. Ein Ausreißer wie der Geschäftsführer aus Aufgabe 6 (100.000 €) verzerrt x̄ dramatisch (13.600 € statt 4.000 €), während der Median bei 4.000 € stabil bleibt.

Schlüsselbegriffe

Arithmetisches Mittel (x̄)

Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl. Nur für kardinal skalierte Merkmale sinnvoll. Berücksichtigt jeden einzelnen Merkmalswert.

Warum wichtig: Standard-Lagemaß; die Summe der Abweichungen vom Mittel ist immer 0; die Summe der quadratischen Abweichungen ist minimal (Kleinste-Quadrate-Eigenschaft). Aber: sehr ausreißerempfindlich.

Median (Z, Zentralwert)

Der Wert, der die aufsteigend geordnete Urliste in zwei gleich große Hälften teilt (50 %-Punkt). Anwendbar ab ordinaler Skala.

Warum wichtig: Robust gegen Ausreißer — deshalb bei schiefen Verteilungen (Einkommen, Vermögen) das aussagekräftigere Lagemaß als der Mittelwert.

Modus (M, Modalwert)

Der häufigste Merkmalswert. Bereits für nominal skalierte Daten definiert. Bei klassierten Daten mit gleichen Klassenbreiten: die Klasse mit der größten Häufigkeit.

Warum wichtig: Einziger Lageparameter für nominal skalierte Daten (Farben, Studienfach etc.).

Quantile (Quartile, Dezile, Perzentile)

Werte, die die Verteilung in gleich große Teile zerlegen: Quartile in 4 Teile (Q1, Q2=Z, Q3), Dezile in 10 Teile, Perzentile in 100 Teile.

Warum wichtig: Grundlage für Boxplot und Quartilsabstand; erlauben feinere Aussagen über die Verteilung (z. B. 'die reichsten 10 %').

Spannweite (R)

Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert. Bei gruppierten Daten: Differenz der äußeren Klassengrenzen.

Warum wichtig: Einfachstes Streuungsmaß; berechnet aus nur zwei Werten; wenig aussagekräftig bei Ausreißern.

Varianz (s²) und Standardabweichung (s)

Varianz: mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert. Standardabweichung: Wurzel der Varianz (gleiche Einheit wie die Daten).

Warum wichtig: Wichtigstes Streuungsmaß der Statistik; berücksichtigt alle Merkmalswerte; s² ≥ 0 immer; Basis für z-Werte, Normalverteilung, Konfidenzintervalle.

Variationskoeffizient (V)

V = s / x̄ — Verhältnis von Standardabweichung zu Mittelwert. Dimensionslos, meist in Prozent.

Warum wichtig: Erlaubt Streuungsvergleich zwischen Verteilungen mit unterschiedlichen Mittelwerten oder Einheiten (z. B. Einkommen in € vs. Körpergröße in cm).

Schiefe und Fechnersche Lageregel

Rechtsschief (linkssteil): lange rechte Flanke, M < Z < x̄. Linksschief (rechtssteil): lange linke Flanke, x̄ < Z < M. Symmetrisch: x̄ = Z = M.

Warum wichtig: Schnelle Beurteilung der Verteilungsform ohne Rechnung; entscheidend für die Wahl des geeigneten Lageparameters.

Boxplot (Box-and-Whisker-Plot)

Grafische Darstellung von Median, Q1, Q3, Quartilsabstand und Spannweite. Box: Q1 bis Q3, Median als Linie in der Box; Whisker bis Min/Max (oder 1,5·IQR).

Warum wichtig: Kompakter visueller Vergleich mehrerer Verteilungen; zeigt Lage, Streuung, Schiefe und Ausreißer auf einen Blick. Ab ordinaler Skala anwendbar.

Formeln zum Anwenden

Diese Formeln musst du in der Klausur einsetzen und damit rechnen können.

Arithmetisches Mittel (einfach)

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$

Symbole xi = Merkmalswert der i-ten Beobachtung; n = Anzahl der Beobachtungen.

Anwenden wenn Kardinal skalierte Einzeldaten ohne Ausreißer. Standard-Lagemaß für symmetrische Verteilungen.

Gewogenes / gruppiertes arithmetisches Mittel

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i} m_i \cdot f_i, \quad \text{mit } n = \sum_{i} f_i$$

Symbole mi = Klassenmitte der i-ten Klasse; fi = absolute Häufigkeit der i-ten Klasse.

Anwenden wenn Bei klassierten Daten (Häufigkeitsverteilung), wenn die Einzelwerte nicht mehr bekannt sind.

Median (Zentralwert) — Einzeldaten

$$Z = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & \text{für } n \text{ ungerade} \\ \frac{1}{2}\left(x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right) & \text{für } n \text{ gerade} \end{cases}$$

Symbole x(k) = k-ter Wert der aufsteigend geordneten Urliste.

Anwenden wenn Bei ordinal oder kardinal skalierten Daten; besonders wenn Ausreißer vorhanden sind (Median ist robust).

Median bei klassierten Daten (lineare Interpolation)

$$Z = x_u + c \cdot \frac{0{,}5 - F_u}{p_{\text{Median}}}$$

Symbole xu = untere Grenze der Medianklasse; c = Klassenbreite; Fu = kumulierte relative Häufigkeit BIS zur Medianklasse; pMedian = relative Häufigkeit in der Medianklasse.

Anwenden wenn Wenn nur Klassenhäufigkeiten vorliegen und der 50-%-Punkt in einer Klasse liegt.

Empirische Varianz (Einzeldaten, biased)

$$s^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$$

Symbole xi = Merkmalswert; x̄ = arithmetisches Mittel; n = Anzahl.

Anwenden wenn Streuungsmaß für kardinal skalierte Daten. Grundgesamtheit-Definition (in DHBW-Skript Hubert Standard).

Empirische Varianz (klassierte Daten)

$$s^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i} f_i \cdot (m_i - \bar{x})^2$$

Symbole mi = Klassenmitte; fi = absolute Klassenhäufigkeit; x̄ = arithmetisches Mittel aus Klassenmitten.

Anwenden wenn Bei gruppierten Daten.

Standardabweichung

$$s = \sqrt{s^2}$$

Symbole Wurzel aus der Varianz.

Anwenden wenn Wenn die Streuung in derselben Einheit wie die Daten angegeben werden soll (z. B. cm, €).

Variationskoeffizient

$$V = \frac{s}{\bar{x}} \quad (\text{oft in \%})$$

Symbole s = Standardabweichung; x̄ = arithmetisches Mittel.

Anwenden wenn Vergleich der relativen Streuung von Verteilungen mit unterschiedlichen Mittelwerten oder Einheiten. Dimensionslos.

Spannweite

$$R = x_{\max} - x_{\min}$$

Symbole xmax / xmin = größter / kleinster Wert der Urliste.

Anwenden wenn Einfachstes Streuungsmaß; nur grobe Aussage, stark ausreißeranfällig.

Quartilsabstand (Interquartilsabstand)

$$\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1$$

Symbole Q1 = unteres Quartil (25-%-Punkt); Q3 = oberes Quartil (75-%-Punkt).

Anwenden wenn Robustes Streuungsmaß, gibt die Spannweite der mittleren 50 % der Werte an; Basis des Boxplots.

Fechnersche Lageregel (Schiefe)

$$\text{Symmetrisch: } \bar{x} = Z = M; \quad \text{Rechtsschief: } M < Z < \bar{x}; \quad \text{Linksschief: } \bar{x} < Z < M$$

Symbole x̄ = arithm. Mittel; Z = Median; M = Modus.

Anwenden wenn Für eingipflige Häufigkeitsverteilungen als schnelle Beurteilung der Schiefe.

Mittlere absolute Abweichung

$$d = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$$

Symbole |·| = Absolutbetrag der Abweichung.

Anwenden wenn Alternatives Streuungsmaß, wenn Quadrierung (Varianz) unerwünscht ist. Kann sowohl auf x̄ als auch auf Z bezogen werden.

Typische Fallen & Verwechslungen

Bei klassierten Daten die falsche Klassenmitte verwenden — mi ist immer (Klassengrenze unten + Klassengrenze oben) / 2, auch bei ungleichen Klassenbreiten.
Median bei gerader Anzahl n: nicht den mittleren Wert wählen, sondern das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte (x(n/2) und x(n/2+1)).
Vor der Median-Bestimmung die Werte NICHT sortieren — häufiger Anfängerfehler. Immer erst aufsteigend ordnen.
Varianz ohne Wurzel als Standardabweichung angeben — Einheit wird dann quadratisch (cm² statt cm) und Interpretation falsch.
Fechnersche Lageregel umgekehrt anwenden: M < Z < x̄ bedeutet RECHTSSCHIEF (linkssteil), NICHT linksschief. Merkregel: Der Mittelwert läuft in Richtung der langen Schiefen-Flanke.
Variationskoeffizient nicht auf 100 % skalieren — V = s/x̄ ist dimensionslos, wird üblicherweise in Prozent angegeben.
Bei gruppierten Daten den Modus in die Klasse mit der größten Häufigkeit legen, ohne die Klassenbreite zu berücksichtigen — bei ungleichen Klassenbreiten muss auf normierte Häufigkeit pi* = pi / ci umgerechnet werden.
Spannweite bei klassierten Daten: nicht max(mi) − min(mi), sondern obere Grenze der obersten Klasse − untere Grenze der untersten Klasse.
Arithmetisches Mittel bei nominal oder ordinal skalierten Daten berechnen — nicht erlaubt! Nur bei kardinal skalierten Merkmalen sinnvoll.

Rechenaufgaben mit Lösungsweg

Klick auf eine Aufgabe für den kompletten Rechenweg Schritt für Schritt.

Rechenaufgabe 1: Berechnen Sie arithmetisches Mittel, Median, Spannweite, Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient.

Szenario: Volleyballmannschaft Haudrauf — Körpergrößen der sechs Stammspieler in cm: 170, 180, 175, 172, 185, 180. (Aufgabe 10 aus der DHBW-Aufgabensammlung, Team H.)

Gegeben:
n = 6; Werte: 170, 180, 175, 172, 185, 180 (in cm).

Lösungsweg

Schritt 1

$$\bar{x} = \frac{170 + 180 + 175 + 172 + 185 + 180}{6} = \frac{1062}{6}$$

Alle Werte aufsummieren und durch die Anzahl n = 6 teilen.

Schritt 2

$$\bar{x} = 177 \ \text{cm}$$

Durchschnittsgröße Team Haudrauf.

Schritt 3

$$\text{Sortiert: } 170, 172, 175, 180, 180, 185; \quad Z = \frac{x_{(3)} + x_{(4)}}{2} = \frac{175 + 180}{2} = 177{,}5 \ \text{cm}$$

Bei gerader Anzahl wird das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte gebildet.

Schritt 4

$$R = x_{\max} - x_{\min} = 185 - 170 = 15 \ \text{cm}$$

Größter minus kleinster Wert.

Schritt 5

$$(x_i - \bar{x}): -7,\ 3,\ -2,\ -5,\ 8,\ 3; \quad (x_i - \bar{x})^2: 49,\ 9,\ 4,\ 25,\ 64,\ 9; \quad \sum = 160$$

Für die Varianz alle Abweichungen zum Mittel quadrieren und aufsummieren.

Schritt 6

$$s^2 = \frac{160}{6} = 26{,}67 \ \text{cm}^2$$

Empirische Varianz als Summe der quadrierten Abweichungen geteilt durch n (biased) — hier gemäß Skript Hubert die einfache Definition.

Schritt 7

$$s = \sqrt{26{,}67} = 5{,}16 \ \text{cm}$$

Wurzel aus der Varianz — bringt die Einheit zurück auf cm.

Schritt 8

$$V = \frac{s}{\bar{x}} = \frac{5{,}16}{177} = 0{,}029$$

Relatives Streuungsmaß: Standardabweichung im Verhältnis zum Mittelwert.

Ergebnis: x̄ = 177 cm; Z = 177,5 cm; R = 15 cm; s² = 26,67 cm²; s = 5,16 cm; V = 0,029 ≈ 2,9 %.

Interpretation: Die Spieler streuen im Schnitt nur um rund 5 cm um 177 cm. V = 2,9 % bedeutet: sehr homogene Mannschaft, geringe relative Streuung. Median ≈ Mittelwert deutet auf eine annähernd symmetrische Verteilung hin.

Rechenaufgabe 2: Berechnen Sie x̄, Median, Spannweite, Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient. Welche Mannschaft ist relativ homogener?

Szenario: Volleyballmannschaft Schmetterhand mit Körpergrößen in cm: 190, 180, 183, 187, 185, 161. Vergleich zur Mannschaft Haudrauf (V = 2,9 %).

Gegeben:
n = 6; Werte: 190, 180, 183, 187, 185, 161.

Lösungsweg

Schritt 1

$$\bar{x} = \frac{190 + 180 + 183 + 187 + 185 + 161}{6} = \frac{1086}{6} = 181 \ \text{cm}$$

Summe der Werte / n.

Schritt 2

$$\text{Sortiert: } 161, 180, 183, 185, 187, 190; \quad Z = \frac{183 + 185}{2} = 184 \ \text{cm}$$

Mittel der beiden mittleren Werte.

Schritt 3

$$R = 190 - 161 = 29 \ \text{cm}$$

Spannweite.

Schritt 4

$$(x_i - \bar{x}): 9,\ -1,\ 2,\ 6,\ 4,\ -20; \quad (x_i - \bar{x})^2: 81,\ 1,\ 4,\ 36,\ 16,\ 400; \quad \sum = 538$$

Für Varianz.

Schritt 5

$$s^2 = \frac{538}{6} = 89{,}67 \ \text{cm}^2; \quad s = \sqrt{89{,}67} = 9{,}47 \ \text{cm}$$

Wurzel liefert Standardabweichung.

Schritt 6

$$V = \frac{9{,}47}{181} = 0{,}052 \approx 5{,}2\ \%$$

Relativer Streuungswert.

Ergebnis: x̄ = 181 cm; Z = 184 cm; R = 29 cm; s² = 89,67 cm²; s = 9,47 cm; V ≈ 5,2 %.

Interpretation: Trotz höherem Mittelwert streut Schmetterhand deutlich stärker (fast doppelt so hoher Variationskoeffizient wie Haudrauf). Der Ausreißer 161 cm zieht Mittelwert unter den Median → linksschiefe / rechtssteile Verteilung. Haudrauf ist damit relativ homogener.

Rechenaufgabe 3: Berechnen Sie arithmetisches Mittel, Spannweite, empirische Standardabweichung und Variationskoeffizient.

Szenario: Klassierte Daten — monatliche Ausgaben in Euro einer Statistik-Übung (n = 20). Klassen und Häufigkeiten: [300–400): f=3; [400–500): f=7; [500–600): f=5; [600–700): f=5. (Aufgabe 11 der Aufgabensammlung.)

Gegeben:
Klassenmitten: m1 = 350, m2 = 450, m3 = 550, m4 = 650. Häufigkeiten: 3, 7, 5, 5. Σfi = 20.

Lösungsweg

Schritt 1

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i} m_i \cdot f_i = \frac{350 \cdot 3 + 450 \cdot 7 + 550 \cdot 5 + 650 \cdot 5}{20}$$

Bei klassierten Daten ersetzt man die Einzelwerte durch die Klassenmitten mi.

Schritt 2

$$= \frac{1050 + 3150 + 2750 + 3250}{20} = \frac{10200}{20} = 510 \ \text{\euro}$$

Zwischensummen bilden, dann durch n teilen.

Schritt 3

$$R = 700 - 300 = 400 \ \text{\euro}$$

Obere Grenze der obersten Klasse minus untere Grenze der untersten Klasse.

Schritt 4

$$(m_i - \bar{x}): -160,\ -60,\ 40,\ 140; \quad (m_i - \bar{x})^2: 25600,\ 3600,\ 1600,\ 19600$$

(mi − x̄)² wird berechnet.

Schritt 5

$$\sum f_i \cdot (m_i - \bar{x})^2 = 3 \cdot 25600 + 7 \cdot 3600 + 5 \cdot 1600 + 5 \cdot 19600 = 76800 + 25200 + 8000 + 98000 = 208000$$

Gewichtete Summe.

Schritt 6

$$s^2 = \frac{208000}{20} = 10400 \ \text{\euro}^2; \quad s = \sqrt{10400} \approx 101{,}98 \ \text{\euro}$$

Empirische Varianz und Standardabweichung.

Schritt 7

$$V = \frac{101{,}98}{510} = 0{,}20 = 20\ \%$$

Relative Streuung.

Ergebnis: x̄ = 510 €; R = 400 €; s = 101,98 €; V = 20 %.

Interpretation: Die durchschnittlichen Monatsausgaben liegen bei 510 €. Die Werte streuen typisch um etwa 102 € um dieses Mittel. Ein Variationskoeffizient von 20 % ist ein mittleres Streuungsniveau. Vergleich mit einer zweiten Gruppe (x̄ = 657,5 €, s = 125 €): V₂ = 125 / 657,5 ≈ 19 %. Trotz größerer absoluter Streuung ist die zweite Gruppe relativ homogener.

Rechenaufgabe 4: Berechnen Sie arithmetisches Mittel, Median, Modus, Spannweite und beurteilen Sie die Verteilung nach der Fechnerschen Lageregel.

Szenario: Kinderzahl in 20 Haushalten (Merkmal xi = Zahl der Kinder unter 18). Werte: 2, 1, 0, 0, 3, 1, 1, 1, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 4, 9, 1, 0, 1. (Aufgabe 9 der Aufgabensammlung — Hochhaus Schröpf.)

Gegeben:
n = 20 Familien; Werte: 2, 1, 0, 0, 3, 1, 1, 1, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 4, 9, 1, 0, 1.

Lösungsweg

Schritt 1

$$\text{Häufigkeiten: } 0 {:} 3,\ 1 {:} 8,\ 2 {:} 3,\ 3 {:} 3,\ 4 {:} 2,\ 9 {:} 1; \quad \sum = 20$$

Häufigkeitstabelle als Basis.

Schritt 2

$$\bar{x} = \frac{3 \cdot 0 + 8 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 9}{20} = \frac{0 + 8 + 6 + 9 + 8 + 9}{20} = \frac{40}{20} = 2$$

Wichtig: hier ergibt die genaue Nachrechnung x̄ = 2. (Der Lösungshinweis nennt 2,5 als Näherung — hier zählt der exakte Wert.)

Schritt 3

$$\text{Sortiert: } 0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,9; \quad Z = \frac{x_{(10)} + x_{(11)}}{2} = \frac{1 + 2}{2} = 1{,}5$$

Mittelwert der beiden mittleren Werte.

Schritt 4

$$M = 1 \ (\text{häufigster Wert, tritt 8-mal auf})$$

Der Wert mit der größten Häufigkeit.

Schritt 5

$$R = 9 - 0 = 9 \quad (\text{alternativ } R = 10)$$

Prüfen: das Maximum aus der Tabelle ist entscheidend.

Schritt 6

$$M < Z < \bar{x}, \quad \text{also } 1 < 1{,}5 < 2 \ (\text{rechtsschief})$$

Vergleich der drei Lageparameter.

Ergebnis: x̄ ≈ 2 (bzw. 2,5 laut Lösungshinweis mit anderer Zählung); Z = 1,5; M = 1; R = 9 (bzw. 10); Fechner: M < Z < x̄ → rechtsschiefe (= linkssteile) Verteilung.

Interpretation: Die meisten Familien haben nur 1 Kind (Modus), aber ein Ausreißer mit 9 Kindern zieht den Mittelwert nach oben. Nach Fechner: rechtsschiefe Verteilung (typische Einkommens-/Kinderzahlverteilungen). Der Median wäre hier robuster als der Mittelwert.

Rechenaufgabe 5: a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel. b) Ist diese Kennzahl hier sinnvoll? Welche Alternative gibt es? c) Wie hoch ist der Durchschnittsverdienst ohne Geschäftsführer?

Szenario: Monatsverdienste der zehn Mitarbeiter der Firma Kapital in Euro: 4000, 5000, 4500, 4000, 3500, 4000, 3000, 4000, 4000, 100.000 (Geschäftsführer). (Aufgabe 6 der Aufgabensammlung.)

Gegeben:
n = 10 Mitarbeiter inkl. Geschäftsführer.

Lösungsweg

Schritt 1

$$\sum x_i = 4000 + 5000 + 4500 + 4000 + 3500 + 4000 + 3000 + 4000 + 4000 + 100000 = 136\,000 \ \text{\euro}$$

Alle Einkommen aufsummieren.

Schritt 2

$$\bar{x} = \frac{136\,000}{10} = 13\,600 \ \text{\euro}$$

Arithmetisches Mittel.

Schritt 3

$$\text{Sortiert: } 3000, 3500, 4000, 4000, 4000, 4000, 4000, 4500, 5000, 100\,000; \quad Z = \frac{x_{(5)} + x_{(6)}}{2} = \frac{4000 + 4000}{2} = 4000 \ \text{\euro}$$

Der Median ist robust gegenüber dem Ausreißer 100.000 €.

Schritt 4

$$\text{Ohne GF: } \sum = 36\,000 \ \text{\euro},\ n = 9 \ \Rightarrow\ \bar{x} = \frac{36\,000}{9} = 4\,000 \ \text{\euro}$$

Neuberechnung ohne den Extremwert.

Ergebnis: a) x̄ = 13.600 €. b) Nein — durch den Ausreißer (Geschäftsführer) verzerrt; besser Median = 4.000 €. c) x̄ ohne GF = 4.000 €.

Interpretation: Der Vergleich 13.600 € vs. 4.000 € (Median) zeigt eindrucksvoll die Ausreißerempfindlichkeit des arithmetischen Mittels. Bei sehr schiefen Verteilungen (Einkommen, Vermögen) ist der Median die aussagekräftigere Lagekenngröße. Hier verdient kein einziger Mitarbeiter tatsächlich den vermeintlichen Durchschnitt von 13.600 €.

Rechenaufgabe 6: Berechnen Sie arithmetisches Mittel und Median (Zentralwert) aus klassierten Daten.

Szenario: Klassierte Daten — Einwohnerzahl in 52 Saarland-Gemeinden (in Tausend). Klassen: [5–10): f=12; [10–20): f=27; [20–50): f=11; [50–100): f=1; [100–200): f=1. (Aufgabe 8.)

Gegeben:
Klassenmitten: 7,5; 15; 35; 75; 150 (in Tsd.). Häufigkeiten: 12, 27, 11, 1, 1. n = 52.

Lösungsweg

Schritt 1

$$\bar{x} = \frac{\sum m_i \cdot f_i}{n} = \frac{12 \cdot 7{,}5 + 27 \cdot 15 + 11 \cdot 35 + 1 \cdot 75 + 1 \cdot 150}{52}$$

Klassenmitten mal Häufigkeiten, dividiert durch n.

Schritt 2

$$= \frac{90 + 405 + 385 + 75 + 150}{52} = \frac{1105}{52} \approx 21{,}25 \ \rightarrow\ 21\,250 \ \text{Einwohner}$$

Aufsummieren und teilen.

Schritt 3

$$F_1 = \tfrac{12}{52} = 0{,}231;\quad F_2 = \tfrac{39}{52} = 0{,}750; \quad \text{Medianklasse: } [10;20)$$

Der Median liegt in der Klasse, in der die kumulierte relative Häufigkeit 0,5 erreicht.

Schritt 4

$$Z = x_u + c \cdot \frac{0{,}5 - F_u}{p_{\text{Median}}}, \quad x_u = 10,\ c = 10,\ F_u = 0{,}231,\ p_{\text{Median}} = \tfrac{27}{52} \approx 0{,}519$$

Lineare Interpolation innerhalb der Medianklasse.

Schritt 5

$$Z = 10 + 10 \cdot \frac{0{,}5 - 0{,}231}{0{,}519} = 10 + 10 \cdot \frac{0{,}269}{0{,}519} = 10 + 5{,}18 = 15{,}18 \ \rightarrow\ 15\,180 \ \text{Einwohner}$$

Einsetzen und ausrechnen.

Ergebnis: x̄ = 21.250 Einwohner; Z = 15.180 Einwohner.

Interpretation: Der Mittelwert (21.250) liegt deutlich über dem Median (15.180) — Hinweis auf eine rechtsschiefe Verteilung, gezogen durch die wenigen großen Städte in der Klasse 100–200. Aussage Median: 50 % der Gemeinden haben weniger als rund 15.180 Einwohner, 50 % mehr.

Verständnis- & Interpretationsfragen

Frage 1 Für welche Skalenniveaus ist das arithmetische Mittel sinnvoll berechenbar?

Antwort: Nur für kardinal skalierte Merkmale.

Bei nominal oder ordinal skalierten Daten sind Abstände nicht sinnvoll definiert; das arithmetische Mittel setzt aber gleiche Abstände zwischen Merkmalswerten voraus. Modus und (ab ordinal) Median sind dort die geeigneten Lagemaße.

Frage 2 Warum ist bei der Fechnerschen Lageregel M < Z < x̄ die Kennzeichnung einer rechtsschiefen Verteilung und nicht linksschief?

Antwort: Weil das arithmetische Mittel durch die wenigen, aber großen Werte in der langen rechten Flanke nach oben gezogen wird — der Mittelwert läuft in Richtung der Schiefen.

Merkregel: Der Mittelwert wandert immer in Richtung des langen Ausläufers. Bei rechtsschiefen Verteilungen (z. B. Einkommen) liegt der Modus links (häufigster Wert), der Median in der Mitte, das arithmetische Mittel rechts davon.

Frage 3 Wann sollte statt des arithmetischen Mittels der Median als Lageparameter verwendet werden?

Antwort: Bei stark schiefen Verteilungen oder Verteilungen mit Ausreißern (z. B. Einkommen, Vermögen) sowie bei ordinal skalierten Daten.

Der Median ist robust: der Extremwert 100.000 € (Geschäftsführer) verschiebt den Median nicht, aber das arithmetische Mittel wird von 4.000 € auf 13.600 € katapultiert (Aufgabe 6).

Frage 4 Welche Streuungsparameter sind bereits für ordinal skalierte Daten sinnvoll?

Antwort: Spannweite und Quartilsabstand.

Beide beruhen nur auf Rangordnungen (Minimum, Maximum, Quartile). Standardabweichung, Varianz, mittlere absolute Abweichung und Variationskoeffizient setzen kardinale Daten voraus, da Differenzen und Quadrate gebildet werden.

Frage 5 Zwei Zahlenfolgen sind 1, 2, 2, 3 und 1001, 1002, 1002, 1003. Welche Streuungsmaße sind gleich, welche unterschiedlich?

Antwort: Spannweite, Varianz und Standardabweichung sind gleich (absolute Streuung identisch). Der Variationskoeffizient ist bei der zweiten Folge deutlich kleiner (relative Streuung).

Eine Verschiebung um eine Konstante ändert die absolute Streuung nicht, verändert aber den Mittelwert und damit V = s/x̄. Die zweite Folge hat V ≈ 0,001, die erste V ≈ 0,4.

Frage 6 Was liest man aus einem Boxplot ab?

Antwort: Median, unteres und oberes Quartil, Quartilsabstand und Spannweite. Zusätzlich sichtbar: Schiefe (Lage des Medians in der Box) und Ausreißer.

Der Boxplot verdichtet fünf Kennzahlen (Min, Q1, Median, Q3, Max) in einer Grafik und ist ideal für den visuellen Vergleich mehrerer Verteilungen (z. B. Volleyballmannschaften Haudrauf vs. Schmetterhand).

Frage 7 Die 75-%-Quantilsangabe für Vermögen liegt bei 300.000 €. Was bedeutet das?

Antwort: 75 % der Haushalte besitzen ein Vermögen bis 300.000 €, 25 % besitzen mehr.

Q3 (drittes Quartil) trennt die unteren 75 % von den oberen 25 %. Wichtig für Verteilungsinterpretation und Basis vieler statistischer Konzentrationsmessungen.