02. Wahrscheinlichkeitsverteilungen | Statistik Klausurvorbereitung

Auf einen Blick

Wahrscheinlichkeitsverteilungen umfassen diskrete Verteilungen (Binomial, hypergeometrisch, Poisson) und stetige Verteilungen (Normal, Standardnormal, Exponential, Rechteck, t, Chi-Quadrat). Für die Klausur zentral sind: Verteilung korrekt erkennen (Ziehen mit/ohne Zurücklegen, seltene Ereignisse, Zeitdauern), passende Formel anwenden, Erwartungswert und Varianz berechnen, sowie Wahrscheinlichkeiten über Standardisierung z=(x-mu)/sigma mit der Standardnormaltabelle Phi(z) berechnen. Bei stetigen Verteilungen gilt P(X=x)=0, Wahrscheinlichkeiten werden über Integrale bzw. Verteilungsfunktion ermittelt. Approximationen: Hypergeometrisch durch Binomial (bei n/N kleiner 0,05), Binomial durch Poisson (n gross, p klein, n*p konstant), Binomial durch Normal (n*p*(1-p) grosser 9). Der Parameter Lambda der Poissonverteilung entspricht sowohl Erwartungswert als auch Varianz. Symmetrische Verteilungen: Normal, Standardnormal, Rechteck (aber NICHT Exponential oder Chi-Quadrat). Merke: Bei der Klausur zuerst Verteilungstyp identifizieren, dann Parameter (n, M, N; n, p; Lambda; mu, sigma) bestimmen, dann Formel anwenden.

Schlüsselbegriffe

Diskrete vs. stetige Zufallsvariable

Diskret: endlich oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen (z.B. Anzahl Sechsen, Anzahl defekter Glühbirnen). Stetig: in einem Intervall überabzählbar viele Werte (z.B. Lebensdauer, Füllmenge, Zeit).

Warum wichtig: Bestimmt, ob mit Wahrscheinlichkeitsfunktion (Stabdiagramm, Summe) oder Dichtefunktion (Fläche, Integral) gearbeitet wird. Bei stetigen Variablen gilt immer P(X=x)=0.

Binomialverteilung B(n;p)

Modelliert die Anzahl X der Erfolge bei n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p. Ziehen MIT Zurücklegen. E(X)=n*p, Var(X)=n*p*(1-p).

Warum wichtig: Standardmodell bei Wiederholungen unter gleichbleibenden Bedingungen. Erkennungsmerkmal: fester n, feste Wahrscheinlichkeit p, unabhängige Versuche.

Hypergeometrische Verteilung H(N;M;n)

Modelliert die Anzahl X der Erfolge bei Ziehen OHNE Zurücklegen aus einer Grundgesamtheit N mit M Erfolgselementen und Stichprobe n. E(X)=n*M/N.

Warum wichtig: Wird verwendet wenn Ziehungen abhängig sind (kein Zurücklegen). Approximation durch Binomialverteilung erlaubt, wenn n/N kleiner 0,05.

Poissonverteilung P(Lambda)

Verteilung der seltenen Ereignisse. X = Anzahl der Ereignisse pro Zeit-/Raumintervall. Lambda = Erwartungswert = Varianz. Approximation der Binomialverteilung bei grossem n und kleinem p, mit Lambda=n*p.

Warum wichtig: Anwendung bei Anrufen pro Zeit, Schadensfällen, Kundenankünften. Erkennungsmerkmal: durchschnittliche Rate (z.B. 5 pro Minute) gegeben.

Normalverteilung N(mu; sigma^2)

Stetige, symmetrische Glockenkurve mit Erwartungswert mu und Standardabweichung sigma. Modelliert viele natürlich verteilte Größen (Zentraler Grenzwertsatz).

Warum wichtig: Wichtigste stetige Verteilung. Wahrscheinlichkeiten werden über Standardisierung z=(x-mu)/sigma und Phi-Tabelle ermittelt.

Standardnormalverteilung N(0;1)

Normalverteilung mit mu=0 und sigma=1. Werte in der Phi-Tabelle abgelesen. Symmetrieregel: Phi(-z)=1-Phi(z).

Warum wichtig: Jede Normalverteilung wird über z=(x-mu)/sigma auf sie zurückgeführt. Ohne z-Transformation keine Berechnung möglich.

Rechtecksverteilung (stetige Gleichverteilung)

Konstante Dichte f(x)=1/(b-a) im Intervall [a,b], sonst 0. E(X)=(a+b)/2, Var(X)=(b-a)^2/12.

Warum wichtig: Modelliert 'zufällig irgendwann/irgendwo gleichverteilt' Fälle (Stromausfälle, Fahrzeiten). Punktwahrscheinlichkeit gleich 0.

Exponentialverteilung Exp(Lambda)

Stetige Verteilung ohne Gedächtnis für Zeitspannen bis zum Eintreten eines Poisson-Ereignisses. Dichte f(x)=Lambda*e^(-Lambda*x). E(X)=1/Lambda, Var(X)=1/Lambda^2. P(X grosser t)=e^(-Lambda*t).

Warum wichtig: Warteschlangenmodelle, Zeit zwischen Ankünften. Enger Zusammenhang zur Poissonverteilung: wenn Anzahl je Zeitraum poissonverteilt ist, ist die Zeit zwischen zwei Ereignissen exponentialverteilt.

Erwartungswert und Varianz allgemein

Diskret: E(X)=Summe x_i*p_i, Var(X)=Summe (x_i-mu)^2*p_i. Standardabweichung sigma=Wurzel(Var(X)). Interpretation: mu = langfristiger Durchschnitt, sigma = durchschnittliche Streuung um mu.

Warum wichtig: Zentrale Kennzahlen jeder Verteilung; müssen bei Klausuraufgaben oft explizit berechnet werden.

Approximationsregeln

Hypergeometrisch durch Binomial: wenn n/N kleiner gleich 0,05. Binomial durch Poisson: n grosser gleich 30 UND p kleiner gleich 0,05 (Lambda=n*p). Binomial durch Normal: n*p*(1-p) grosser 9.

Warum wichtig: Ohne Approximation wären viele Berechnungen praktisch unmöglich. Wichtig für die Wahl der einfachsten Rechenformel.

Formeln zum Anwenden

Diese Formeln musst du in der Klausur einsetzen und damit rechnen können.

Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion

$$\mathbb{P}(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \quad \text{mit } \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$

Symbole n = Anzahl Versuche, k = Anzahl gesuchter Erfolge, p = Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch, 1-p = q = Misserfolgswahrscheinlichkeit. E(X)=n*p, Var(X)=n*p*(1-p).

Anwenden wenn Ziehen MIT Zurücklegen, unabhängige Wiederholungen, konstante Erfolgswahrscheinlichkeit. Beispiel: 8 Kaffeemaschinen entnommen, 20% defekt in der Grundgesamtheit.

Hypergeometrische Verteilung

$$\mathbb{P}(X=k) = \frac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

Symbole N = Gesamtumfang, M = Zahl der 'Erfolgselemente' in der Grundgesamtheit, n = Stichprobenumfang, k = Anzahl gesuchter Erfolge in der Stichprobe. E(X)=n*M/N.

Anwenden wenn Ziehen OHNE Zurücklegen. Wenn n/N grosser 0,05 muss man wirklich hypergeometrisch rechnen. Beispiel: 6 Personen observieren, davon 3 gefährlich.

Poissonverteilung

$$\mathbb{P}(X=k) = \frac{\lambda^{k}}{k!} \cdot e^{-\lambda}$$

Symbole Lambda = durchschnittliche Rate = E(X) = Var(X). k = Anzahl Ereignisse. e = Eulersche Zahl (etwa 2,71828).

Anwenden wenn Seltene Ereignisse mit bekannter Durchschnittsrate pro Zeit-/Raum-Einheit. Beispiel: 5 Anrufe pro Minute im Call Center, wie viele in 1 Minute?

Standardisierung Normalverteilung

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma} \quad \text{und} \quad \mathbb{P}(X \leq x) = \Phi(z)$$

Symbole x = konkreter Wert der Zufallsvariablen, mu = Erwartungswert, sigma = Standardabweichung, Phi(z) = Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (aus Tabelle). Symmetrie: Phi(-z)=1-Phi(z).

Anwenden wenn Immer wenn eine normalverteilte Größe gegeben ist und P(a kleiner gleich X kleiner gleich b) berechnet werden soll: P(a kleiner gleich X kleiner gleich b) = Phi((b-mu)/sigma) - Phi((a-mu)/sigma).

Rechtecksverteilung

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & \text{für } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \quad \mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}, \quad \mathbb{E}(X) = \frac{a+b}{2}, \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12}$$

Symbole a = untere Intervallgrenze, b = obere Intervallgrenze, [c,d] = Teilintervall der gesuchten Wahrscheinlichkeit.

Anwenden wenn Wenn eine stetige Größe in einem Intervall 'gleichverteilt' ist. Beispiel: Fahrzeit gleichverteilt zwischen 15 und 20 Minuten.

Exponentialverteilung

$$f(x) = \lambda \cdot e^{-\lambda x} \text{ für } x \geq 0, \quad F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad \mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}, \quad \mathbb{E}(X) = \frac{1}{\lambda}, \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^{2}}$$

Symbole Lambda = Ereignisrate (pro Zeiteinheit), x/t = betrachtete Zeitspanne. E(X)=1/Lambda ist die durchschnittliche Wartezeit.

Anwenden wenn Zeit zwischen zwei Poisson-Ereignissen, Lebensdauer, Wartezeiten. Erkennungsmerkmal: 'im Durchschnitt alle t Minuten...' oder Warteschlangenkontext.

Erwartungswert und Varianz diskret

$$\mathbb{E}(X) = \sum_{i} x_{i} \cdot p_{i}, \quad \mathrm{Var}(X) = \sum_{i} (x_{i} - \mathbb{E}(X))^{2} \cdot p_{i} = \sum_{i} x_{i}^{2} \cdot p_{i} - \mathbb{E}(X)^{2}, \quad \sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$$

Symbole x_i = Ausprägung, p_i = zugehörige Wahrscheinlichkeit. Rechne Var(X) meist über die Verschiebungsformel.

Anwenden wenn Sobald bei einer diskreten Zufallsvariablen (z.B. Losspiel, Lostrommel) Erwartungswert und Streuung bestimmt werden sollen.

Typische Fallen & Verwechslungen

Verwechseln von Ziehen mit/ohne Zurücklegen: Binomial nur MIT Zurücklegen (bzw. bei sehr grosser Grundgesamtheit), Hypergeometrisch OHNE. Bei 'Massenproduktion, Stichprobe kleiner 5%' darf man Binomial statt Hypergeometrisch nehmen.
Bei stetigen Verteilungen: P(X=x)=0. Deshalb ist P(a kleiner X kleiner b) = P(a kleiner gleich X kleiner gleich b). Nicht 'einzelne Punkte addieren' wie bei diskreten Variablen.
Standardisierung: sigma ist die Standardabweichung, NICHT die Varianz. Wenn Var = 0,0016 gegeben ist, muss man sigma = Wurzel(0,0016) = 0,04 einsetzen.
Phi-Tabelle für negative z-Werte: Phi(-z) = 1 - Phi(z), NICHT Phi(z) mit Vorzeichen davor.
Bei der Poissonverteilung ist Lambda gleichzeitig Erwartungswert UND Varianz (nicht Standardabweichung).
Bei P(X kleiner 5) diskret NICHT gleich P(X kleiner gleich 5): P(X kleiner 5) = P(X kleiner gleich 4). Bei stetigen Variablen egal.
Symmetrieannahme: Exponentialverteilung und Chi-Quadrat-Verteilung sind NICHT symmetrisch. Nur Normal, Standardnormal und Rechteck sind symmetrisch.
Bei Exponentialverteilung aus E(X)=... erst Lambda = 1/E(X) berechnen, bevor man in die Formel einsetzt.

Rechenaufgaben mit Lösungsweg

Klick auf eine Aufgabe für den kompletten Rechenweg Schritt für Schritt.

Rechenaufgabe 1: a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine der entnommenen Maschinen defekt ist? b) Wie gross ist Erwartungswert und Standardabweichung? c) Was ergibt sich für a), wenn stattdessen MIT Zurücklegen gezogen wird?

Szenario: Ein Unternehmen der Elektrobranche stellt pro Tag 25 Kaffeemaschinen her, von denen erfahrungsgemäß 20% defekt sind. Aus der Tagesproduktion werden 8 Maschinen entnommen (Ziehen OHNE Zurücklegen).

Gegeben:
N=25 (Grundgesamtheit), M=5 (defekte, 20% von 25), n=8 (Stichprobe), p=0,2, q=0,8

Lösungsweg

Schritt 1

$$\text{Hypergeometrische Verteilung mit } N=25,\ M=5,\ n=8$$

Ziehen ohne Zurücklegen und n/N = 8/25 = 0,32 grosser 0,05: hypergeometrische Verteilung nötig.

Schritt 2

$$\mathbb{P}(X=0) = \dfrac{\binom{5}{0} \cdot \binom{20}{8}}{\binom{25}{8}}$$

= 1 * 125.970 / 1.081.575 = 0,116

Schritt 3

$$\mathbb{P}(X=1) = \dfrac{\binom{5}{1} \cdot \binom{20}{7}}{\binom{25}{8}}$$

= 5 * 77.520 / 1.081.575 = 0,358

Schritt 4

$$\mathbb{P}(X \leq 1) = \mathbb{P}(X=0) + \mathbb{P}(X=1) = 0{,}116 + 0{,}358$$

= 0,474 = 47,4%

Schritt 5

$$\mathbb{E}(X) = \frac{n \cdot M}{N} = \frac{8 \cdot 5}{25} = 1{,}6 \text{ Maschinen}$$

Var(X) = n*M/N * (N-M)/N * (N-n)/(N-1) = 1,6 * 20/25 * 17/24 = 0,907 also sigma = 0,952 Maschinen

Schritt 6

$$\text{Mit Zurücklegen: Binomialverteilung mit } n=8,\ p=0{,}2$$

P(X=0) = 0,8^8 = 0,168; P(X=1) = 8*0,2*0,8^7 = 0,336

Schritt 7

$$\mathbb{P}(X \leq 1) = 0{,}168 + 0{,}336$$

= 0,504 = 50,4%

Ergebnis: a) 47,4% b) E(X) = 1,6 Maschinen, sigma = 0,952 Maschinen c) 50,4%

Interpretation: Die Binomialwahrscheinlichkeit ist etwas höher, weil mit Zurücklegen die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant bei 0,2 bleibt. Da n/N grosser 5% ist, ist der Unterschied merklich; Approximation Bin statt Hypergeo wäre hier NICHT gerechtfertigt.

Rechenaufgabe 2: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer beliebigen Minute WENIGER ALS 5 Gespräche eingehen?

Szenario: In einem Call Center kommen pro Minute durchschnittlich 5 Gespräche ein. Die Anzahl der Anrufe pro Minute ist poissonverteilt.

Gegeben:
Lambda = E(X) = 5 Anrufe pro Minute

Lösungsweg

Schritt 1

$$\text{Poisson mit } \lambda=5,\quad \mathbb{P}(X < 5) = \mathbb{P}(X \leq 4)$$

Da X diskret ist, gehört der Wert 5 nicht mehr dazu.

Schritt 2

$$\mathbb{P}(X=k) = \frac{5^{k}}{k!} \cdot e^{-5} \text{ für } k=0,1,2,3,4$$

e^(-5) etwa 0,006738

Schritt 3

$$\mathbb{P}(X=0) = \frac{5^{0}}{0!} \cdot e^{-5} = 1 \cdot 0{,}006738$$

= 0,00674

Schritt 4

$$\mathbb{P}(X=1) = \frac{5^{1}}{1!} \cdot e^{-5} = 5 \cdot 0{,}006738$$

= 0,03369

Schritt 5

$$\mathbb{P}(X=2) = \frac{5^{2}}{2!} \cdot e^{-5} = 12{,}5 \cdot 0{,}006738$$

= 0,08422

Schritt 6

$$\mathbb{P}(X=3) = \frac{5^{3}}{3!} \cdot e^{-5} = 20{,}833 \cdot 0{,}006738$$

= 0,14037

Schritt 7

$$\mathbb{P}(X=4) = \frac{5^{4}}{4!} \cdot e^{-5} = 26{,}042 \cdot 0{,}006738$$

= 0,17547

Schritt 8

$$\mathbb{P}(X < 5) = \sum_{k=0}^{4} \mathbb{P}(X=k)$$

= 0,00674 + 0,03369 + 0,08422 + 0,14037 + 0,17547 = 0,4405

Ergebnis: P(X kleiner 5) = 0,4405 = 44,05%

Interpretation: In rund 44 von 100 Minuten kommen weniger als 5 Anrufe ein. Erwartungswert = 5 Anrufe stimmt mit dem Median-Bereich überein: unterhalb von 5 liegen ca. 44%, das ist plausibel bei einer leicht rechtsschiefen Poisson-Verteilung.

Rechenaufgabe 3: a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Flasche zwischen 1,18 l und 1,26 l enthält? b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4 unabhängigen Zügen genau 3 Flaschen innerhalb dieses Intervalls liegen? c) Wie viele Flaschen erwartet man bei 32 unabhängigen Zügen im Intervall aus a)?

Szenario: An einer Abfüllanlage werden Flaschen mit einem Mittelwert von mu=1,2 Liter und einer Varianz von sigma^2 = 0,0016 l^2 gefüllt. Es liegt eine Normalverteilung vor.

Gegeben:
mu = 1,2 l; sigma = Wurzel(0,0016) = 0,04 l; Grenzen 1,18 und 1,26

Lösungsweg

Schritt 1

$$\sigma = \sqrt{0{,}0016} = 0{,}04$$

= 0,04 l

Schritt 2

$$z_{\text{unten}} = \frac{1{,}18 - 1{,}20}{0{,}04} = -0{,}5,\quad z_{\text{oben}} = \frac{1{,}26 - 1{,}20}{0{,}04} = 1{,}5$$

Nur so ist die Phi-Tabelle nutzbar.

Schritt 3

$$\Phi(1{,}5) = 0{,}9332,\quad \Phi(-0{,}5) = 1 - \Phi(0{,}5) = 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$$

Symmetrieregel Phi(-z) = 1 - Phi(z) angewendet.

Schritt 4

$$\mathbb{P}(1{,}18 \leq X \leq 1{,}26) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-0{,}5)$$

= 0,9332 - 0,3085 = 0,6247 also 62,47%

Schritt 5

$$\text{Binomialverteilung mit } n=4,\ k=3,\ p=0{,}6247,\ q=0{,}3753$$

P(X=3) = C(4,3) * 0,6247^3 * 0,3753^1 = 4 * 0,2438 * 0,3753 = 0,366

Schritt 6

$$\mathbb{E}(X) = n \cdot p = 32 \cdot 0{,}6247$$

= 19,99 rund 20 Flaschen

Ergebnis: a) 62,47% b) 36,6% c) rund 20 Flaschen

Interpretation: Rund zwei Drittel aller Flaschen liegen im Intervall [1,18; 1,26]. Bei 32 Zügen liegen im Mittel 20 Flaschen darin, das ist konsistent mit einem gut eingestellten Abfüllprozess. In b) wird die Normalverteilung als Zwischenschritt zur Binomialverteilung verwendet.

Rechenaufgabe 4: Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheinen 5 Minuten lang keine Kunden, sodass der Kassierer die Kasse kontrollieren kann?

Szenario: An einer Supermarktkasse erscheint im Durchschnitt alle 2 Minuten ein Kunde. Die Wahrscheinlichkeit des Erscheinens ist in jedem Moment gleich hoch (Poisson-Prozess).

Gegeben:
E(X) = 2 Minuten Wartezeit zwischen zwei Kunden; gesucht: P(Wartezeit grosser 5 Minuten)

Lösungsweg

Schritt 1

$$\text{Exponentialverteilung für Zeiten zwischen Poisson-Ereignissen}$$

E(X) = 1/Lambda also Lambda = 1/E(X) = 1/2 = 0,5 (Kunden pro Minute).

Schritt 2

$$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$$

Diese Formel folgt aus F(t) = 1 - e^(-Lambda*t) und P(X grosser t) = 1 - F(t).

Schritt 3

$$\mathbb{P}(X > 5) = e^{-0{,}5 \cdot 5} = e^{-2{,}5}$$

e^(-2,5) auf Taschenrechner

Schritt 4

$$e^{-2{,}5} \approx 0{,}0821$$

= 0,0821

Ergebnis: P(X grosser 5) = 0,082 = 8,2%

Interpretation: In etwa 8 von 100 Situationen erscheint innerhalb von 5 Minuten kein Kunde. Der Kassierer wird also nicht sehr oft ungestört die Kasse kontrollieren können; der Wert ist konsistent mit der 'Verteilung ohne Gedächtnis' und dem kurzen mittleren Abstand von 2 Minuten.

Rechenaufgabe 5: a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwischen 17 und 19 Minuten benötigt? b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Fahrzeit.

Szenario: Ein Studierender braucht per Fahrrad zur DHBW eine Zeit, die im Intervall zwischen 15 und 20 Minuten gleichverteilt ist (Rechtecksverteilung).

Gegeben:
a = 15 Minuten, b = 20 Minuten, gesuchtes Teilintervall [17; 19]

Lösungsweg

Schritt 1

$$f(x) = \frac{1}{b-a} = \frac{1}{20-15} = \frac{1}{5} = 0{,}2 \text{ für } 15 \leq x \leq 20$$

Konstante Dichte auf dem gesamten Intervall.

Schritt 2

$$\mathbb{P}(17 \leq X \leq 19) = \frac{19-17}{20-15} = \frac{2}{5}$$

= 2/5 = 0,4 also 40%

Schritt 3

$$\mathbb{E}(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{15+20}{2} = 17{,}5$$

= 17,5 Minuten

Schritt 4

$$\mathrm{Var}(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12} = \frac{(20-15)^{2}}{12} = \frac{25}{12}$$

= 2,0833

Schritt 5

$$\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{2{,}0833}$$

= 1,443 Minuten

Ergebnis: a) 40% b) E(X) = 17,5 Minuten, sigma = 1,443 Minuten

Interpretation: Die Fahrzeit liegt im Schnitt bei 17,5 Minuten mit einer typischen Abweichung von rund 1,4 Minuten. Die Wahrscheinlichkeit 40% für [17;19] entspricht 2 von 5 Minuten des Gesamt-Intervalls, was die Konstantheit der Dichte demonstriert.

Rechenaufgabe 6: a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag weniger als 980 Liter getrunken werden? b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass nacheinander an drei unabhängigen Tagen jeweils weniger als 980 Liter verbraucht werden?

Szenario: In der Kantine wird Mineralwasser normalverteilt mit Erwartungswert 1.000 Liter pro Tag und Varianz 100 l^2 verbraucht.

Gegeben:
mu = 1.000 l; sigma^2 = 100 l^2 also sigma = 10 l; Schwelle = 980 l

Lösungsweg

Schritt 1

$$\sigma = \sqrt{100} = 10$$

= 10 l

Schritt 2

$$z = \frac{980 - 1000}{10} = -2$$

= -2

Schritt 3

$$\mathbb{P}(X < 980) = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2)$$

Phi(2) aus Tabelle = 0,9772 also Phi(-2) = 1 - 0,9772 = 0,0228

Schritt 4

$$\mathbb{P}(X < 980) = 0{,}0228$$

= 2,28%

Schritt 5

$$\text{Binomialverteilung mit } n=3,\ k=3,\ p=0{,}0228,\ q=0{,}9772$$

Alternative Formel für unabhängige Ereignisse: p^3 = 0,0228^3

Schritt 6

$$\mathbb{P}(X=3) = 0{,}0228^{3} = 0{,}00001185$$

rund 0,001%

Ergebnis: a) 2,28% b) rund 0,001% (praktisch 0)

Interpretation: Nur an rund 2 von 100 Tagen liegt der Verbrauch unter 980 Litern. Dass so etwas drei Tage in Folge passiert, ist praktisch unmöglich (etwa 1 zu 100.000). Das illustriert die Multiplikation unabhängiger seltener Ereignisse.

Rechenaufgabe 7: a) Wie wahrscheinlich ist es, mit den 3 Observierungen genau die 3 gefährlichen Personen zu erwischen? b) Berechnen Sie E(X) und sigma, wenn stattdessen 4 Personen observiert werden.

Szenario: Der Verfassungsschutz beobachtet 6 verdächtige Personen, von denen 3 tatsächlich ein Sicherheitsrisiko darstellen. Er beobachtet zufällig 3 Personen (ohne Zurücklegen).

Gegeben:
N=6 gesamt, M=3 gefährlich, n=3 beobachtet (Teil a), n=4 (Teil b)

Lösungsweg

Schritt 1

$$\mathbb{P}(X=3) = \frac{\binom{3}{3} \cdot \binom{3}{0}}{\binom{6}{3}}$$

C(3,3)=1; C(3,0)=1; C(6,3)=20

Schritt 2

$$\mathbb{P}(X=3) = \frac{1 \cdot 1}{20}$$

= 0,05 = 5%

Schritt 3

$$\mathbb{E}(X) = \frac{n \cdot M}{N} = 4 \cdot \frac{3}{6} = 2$$

= 2 Personen

Schritt 4

$$\mathrm{Var}(X) = \frac{n \cdot M}{N} \cdot \frac{N-M}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1} = 2 \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5}$$

= 2 * 0,5 * 0,4 = 0,4

Schritt 5

$$\sigma = \sqrt{0{,}4}$$

= 0,632 Personen rund 0,63

Ergebnis: a) 5% b) E(X) = 2 Personen, sigma = 0,63 Personen

Interpretation: Nur in 1 von 20 Fällen erwischt der Verfassungsschutz zufällig alle drei richtigen Personen. Bei Observation von 4 Personen sind im Schnitt 2 der Verdächtigen dabei mit einer typischen Streuung von 0,6 Personen. Die hypergeometrische Verteilung passt hier, weil ohne Zurücklegen aus einer sehr kleinen Grundgesamtheit gezogen wird.

Verständnis- & Interpretationsfragen

Frage 1 Warum darf bei einer Stichprobe von n=1000 aus einer Massenproduktion mit mehreren Millionen Glühbirnen die Binomial- statt der (eigentlich korrekten) hypergeometrischen Verteilung verwendet werden?

Antwort: Weil der Stichprobenumfang unter 5% der Grundgesamtheit liegt. Dann sind die Ziehungen praktisch unabhängig, und p ändert sich durch das Ziehen nicht merklich. Approximation hypergeometrisch durch Binomial zulässig.

Die Faustregel n/N kleiner gleich 0,05 ist im Klausurkontext entscheidend. Sie erspart die aufwendigere hypergeometrische Formel.

Frage 2 Der Parameter Lambda der Poissonverteilung ist gleich...

dem Median
dem Erwartungswert
der Standardabweichung
der Varianz
Erwartungswert UND Varianz

Antwort: Erwartungswert UND Varianz (Antwort c und e aus dem Check-up).

Bei der Poissonverteilung gilt E(X) = Var(X) = Lambda. Die Standardabweichung ist Wurzel(Lambda), nicht Lambda selbst.

Frage 3 Warum ist die Wahrscheinlichkeit P(X=x) bei einer stetigen Zufallsvariablen immer 0?

Antwort: Weil die Dichtefunktion nur über Integrale (Flächen) Wahrscheinlichkeiten liefert. Die Fläche über einem einzelnen Punkt hat Breite 0 und damit Fläche 0. Wahrscheinlichkeiten existieren nur für Intervalle.

Folge davon: P(a kleiner gleich X kleiner gleich b) = P(a kleiner X kleiner b). Die Randpunkte darf man einschliessen oder weglassen.

Frage 4 Ein Autoreifen hat eine normalverteilte Laufleistung mit mu=40.000 km und sigma=2.000 km. Wie interpretiert man das Intervall [36.000; 44.000]?

Antwort: Das entspricht mu +/- 2*sigma, also der 2-Sigma-Umgebung. Rund 95,44 % aller Reifen liegen in diesem Intervall.

Merke: mu +/- 1*sigma etwa 68%, mu +/- 2*sigma etwa 95%, mu +/- 3*sigma etwa 99,7%. Klausurklassiker für schnelle Überschlagsrechnung.

Frage 5 Welche der folgenden Verteilungen sind IMMER symmetrisch? Normalverteilung, Exponentialverteilung, Rechtecksverteilung, Chi-Quadrat-Verteilung, Standardnormalverteilung.

Antwort: Symmetrisch sind: Normalverteilung, Standardnormalverteilung und Rechtecksverteilung. NICHT symmetrisch: Exponentialverteilung (rechtsschief), Chi-Quadrat-Verteilung (rechtsschief).

Merkhilfe: Exponentialverteilung startet bei 0 und fällt monoton, Chi-Quadrat ist die Verteilung einer Quadratsumme (immer positiv) und deshalb rechtsschief.

Frage 6 Wann wendet man die Poissonverteilung an?

Antwort: Bei seltenen Ereignissen mit bekannter Durchschnittsrate Lambda in einem Zeit-/Raumintervall. Voraussetzung: p klein, n gross. Zusatz: kann als Approximation sowohl für Binomial- als auch (in Grenzfällen) hypergeometrische Verteilung dienen.

Klassische Beispiele: Anrufe pro Minute, Schadensmeldungen pro Tag, Druckfehler pro Seite. NICHT geeignet für Würfel- oder Münzwurf (dort p nicht klein).

Frage 7 Warum ist bei der Standardnormalverteilung mu=0 und sigma=1?

Antwort: Sie ist die Normierung der Normalverteilung: aus jeder N(mu, sigma^2) wird über z=(x-mu)/sigma eine N(0,1). Das erlaubt die Nutzung der einheitlichen Phi-Tabelle.

Ohne diese Normierung bräuchte man für jedes mu und jedes sigma eine eigene Tabelle. Die Standardisierung ist ein Rechen-Trick.